Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+2y-z-5=0$ và điểm $A(2;-1;3)$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $O,A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình dạng $5x+by+cz=0$. Tính giá trị của $bc$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của giao tuyến của $(Q)$ với mặt phẳng qua $O,A$ là $\overrightarrow{OA}=(2;-1;3)$, nên pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}=(5;b;c)$ vuông góc với $\overrightarrow{OA}$: $10-b+3c=0$. Mặt khác $(Q)\perp (P)$ với $\overrightarrow{n_P}=(2;2;-1)$: $10+2b-c=0$. Trừ hai phương trình: $-3b+4c=0\Rightarrow b=\frac{4c}{3}$. Thay vào: $10+\frac{8c}{3}-c=0\Rightarrow \frac{5c}{3}=-10\Rightarrow c=-6$, suy ra $b=-8$. Vậy $bc=(-8)(-6)=48$. Kiểm tra: $10-(-8)+3(-6)=0$ đúng; $10+2(-8)-(-6)=0$ đúng.