Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Biết $A(1;0;1)$, $B^{\prime }(2;1;2)$, $D^{\prime }(1;-1;1)$, $C(4;5;-5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Với A(1;0;1), B'(2;1;2), D'(1;-1;1), C(4;5;-5):
a) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(1;1;1)$ nên $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=\sqrt{3}\ne 3$ → Sai.
b) Trọng tâm tam giác AB'D': $G=\left(\frac{1+2+1}{3};\frac{0+1-1}{3};\frac{1+2+1}{3}\right)=\left(\frac{4}{3};0;\frac{4}{3}\right)\ne (2;0;2)$ → Sai.
c) $\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{D}^{\prime }}=(3;6;-6)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }C}=3+6-6=3$; $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{D^{\prime }C}|=\sqrt{9+36+36}=9$. Vậy $\cos =\frac{3}{9\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$ → Đúng.
d) Gọi $\vec{t}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ thì $B=B^{\prime }-\vec{t}$, $D=D^{\prime }-\vec{t}$. Vì ABCD là hình bình hành: $B+D=A+C$ nên $\vec{t}=\frac{B^{\prime }+D^{\prime }-A-C}{2}=(-1;-\frac{5}{2};\frac{7}{2})$. Suy ra $A^{\prime }=A+\vec{t}=(0;-\frac{5}{2};\frac{9}{2})$, hoành độ bằng 0 → Đúng. (Kiểm tra: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=(2;\frac{7}{2};-\frac{5}{2})=\overrightarrow{AB}$, thỏa mãn.)
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(1;1;1)$, độ dài $\sqrt{3}\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm là $G\left(\frac{4}{3};0;\frac{4}{3}\right)\ne (2;0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{D^{\prime }C}=(3;6;-6)$, tích vô hướng bằng 3, $|\overrightarrow{D^{\prime }C}|=9$, $|\overrightarrow{A{B}^{\prime }}|=\sqrt{3}$, cos $=\frac{\sqrt{3}}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $B+D=A+C$ suy ra $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(-1;-\frac{5}{2};\frac{7}{2})$, nên $A^{\prime }=(0;-\frac{5}{2};\frac{9}{2})$, hoành độ bằng 0.