Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $A(2;1),B(4;5)$ và đường thẳng $\Delta :x+2y-9=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $AB=\sqrt{(4-2{)}^2+(5-1{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Đường tròn tâm $A(2;1)$ bán kính $2\sqrt{5}$: $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=20\iff x^2+y^2-4x-2y-15=0$. Đúng.
b) $\Delta$ có VTCP $(2;-1)$ nên đường vuông góc với $\Delta$ có VTCP $(1;2)$, qua $A(2;1)$: $2(x-2)-(y-1)=0\iff 2x-y-3=0$. Đúng.
c) $\overrightarrow{AB}=(2;4)=2(1;2)$ nên $\vec{u}=(1;2)$ là một VTCP của $AB$. Đúng.
d) $d(A,\Delta )=\frac{|2+2-9|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$. Nửa dây $MN=\sqrt{A{B}^2-d^2}=\sqrt{20-5}=\sqrt{15}$, nên $MN=2\sqrt{15}$. Diện tích $S_{AMN}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{15}\cdot \sqrt{5}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}\ne 4\sqrt{5}$. Sai. Khớp đáp án chính thức (mã 1002): Đ Đ Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB=2\sqrt{5}$, $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=20\iff x^2+y^2-4x-2y-15=0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường vuông góc với $\Delta$ có VTCP $(1;2)$, qua $A(2;1)$: $2x-y-3=0$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2;4)=2(1;2)$ nên $(1;2)$ là một VTCP. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,\Delta )=\sqrt{5}$, $MN=2\sqrt{15}$, $S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{15}\cdot \sqrt{5}=5\sqrt{3}\ne 4\sqrt{5}$. Sai.