Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho elip $(E)$ có một tiêu điểm $F_1\left(-\sqrt{3};0\right)$ và đi qua $M\left(1;\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E) nhận F1(-√3;0) làm tiêu điểm nên c=√3, dạng x²/a² + y²/b² = 1 với a²−b²=3. Vì M(1;√3/2) thuộc elip: 1/a² + (3/4)/b² = 1. Đặt t=b², a²=t+3: 1/(t+3) + 3/(4t) = 1 ⇒ 4t + 3(t+3) = 4t(t+3) ⇒ 7t+9 = 4t²+12t ⇒ 4t²+5t−9=0 ⇒ t=1 (nhận) hoặc t=−9/4 (loại). Vậy b²=1, a²=4, phương trình chính tắc x²/4 + y²/1 = 1 (c Đúng); tiêu cự 2c=2√3 (d Đúng).
a) MF1 = √((1+√3)² + (√3/2)²) = √(4+2√3+3/4) = √(19/4+2√3) ≈ 2,87 ≠ (2−√3)/2 ≈ 0,13 ⇒ Sai.
b) Thay N(−1;√3/2) vào phương trình: 1/4 + 3/4 = 1 ⇒ N nằm trên elip, nên khẳng định 'N không nằm trên elip' Sai.
Đối chiếu bảng đáp án chính thức mã đề 1001, PHẦN II Câu 4: SSDD — khớp hoàn toàn với kết quả giải.
a) (AI giải đề cho tôi)
MF1 = √((1+√3)² + 3/4) = √(19/4 + 2√3) ≈ 2,87, khác (2−√3)/2 ≈ 0,13 nên mệnh đề Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay N(−1;√3/2) vào x²/4 + y² = 1 được 1/4 + 3/4 = 1, nên N nằm trên elip; khẳng định 'không nằm' là Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
c=√3 nên a²−b²=3; M(1;√3/2) thuộc elip cho hệ 1/a² + 3/(4b²) = 1, giải được b²=1, a²=4 ⇒ x²/4 + y²/1 = 1, Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự 2c = 2√3, Đúng.