Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai vectơ $\vec{u}=\frac{1}{2}\vec{i}-5\vec{j}$ và $\vec{v}=k\vec{i}-4\vec{j}$. Tìm $k$ để vectơ $\vec{u}$ vuông góc với $\vec{v}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ $\vec{u}=\frac{1}{2}\vec{i}-5\vec{j}=\left(\frac{1}{2};-5\right)$ và $\vec{v}=k\vec{i}-4\vec{j}=(k;-4)$.

Điều kiện $\vec{u}$ vuông góc với $\vec{v}$ là $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$:
$$\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}\cdot k+(-5)\cdot (-4)=\frac{k}{2}+20=0$$

Suy ra $\frac{k}{2}=-20$, tức là $k=-40$.

Thử lại: với $k=-40$ thì $\vec{v}=(-40;-4)$, khi đó $\vec{u}\cdot \vec{v}=\frac{1}{2}(-40)+(-5)(-4)=-20+20=0$. Vậy $\vec{u}\perp \vec{v}$ khi $k=-40$.