Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho phương trình đường tròn $(C):x^2+y^2-4x+2y-4=0$.

a) Tìm tâm và bán kính của đường tròn $(C)$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(-1;-1)$ thuộc đường tròn $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đưa phương trình về dạng chính tắc: $x^2+y^2-4x+2y-4=0\iff (x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$. Vậy tâm $I(2;-1)$, bán kính $R=3$.

b) Kiểm tra $M(-1;-1)$ thuộc $(C)$: $IM=\sqrt{(2+1{)}^2+0^2}=3=R$, đúng.

Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$ là $\overrightarrow{IM}=(-3;0)$, nên tiếp tuyến có phương trình: $-3(x+1)+0(y+1)=0\iff x+1=0$, tức $x=-1$.

Vậy tiếp tuyến tại $M$ là đường thẳng $x=-1$ (tiếp tuyến đứng vì $IM$ nằm ngang).