Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(-3;-8)$, trọng tâm là điểm $G\left(1;\frac{2}{3}\right)$ và trực tâm là điểm $H(13;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Vì $G$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AM}$, suy ra $2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AG}$ với $\overrightarrow{AG}=(4;\frac{26}{3})$, do đó $\overrightarrow{AM}=(6;13)$ và $M=A+\overrightarrow{AM}=(3;5)$. (Kiểm tra: $G=\frac{A+2M}{3}=\left(\frac{-3+6}{3};\frac{-8+10}{3}\right)=(1;\frac{2}{3})$ đúng.)

b) Đúng. Vì $H$ là trực tâm nên $AH\perp BC$. Vecto $\overrightarrow{AH}=(16;8)$ có hệ số góc $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$, nên $BC$ có hệ số góc $-2$. Đường thẳng $BC$ qua $M(3;5)$: $y-5=-2(x-3)\iff 2x+y-11=0$.

c) Sai. $\vec{n}(16;8)$ chính là vecto chỉ phương của $AH$ (vì $\overrightarrow{AH}=(16;8)$), không phải vecto pháp tuyến. Một vecto pháp tuyến của $AH$ là $(8;-16)$ hay $(1;-2)$.

d) Đúng. $BC$ có vecto chỉ phương ${\vec{u}}_1=(1;-2)$, $AM$ có vecto chỉ phương ${\vec{u}}_2=(6;13)$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{|1\cdot 6+(-2)\cdot 13|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{205}}=\frac{20}{5\sqrt{41}}=\frac{4}{\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AM}$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AG}=(6;13)$, do đó $M=(-3+3;-8+13)=(3;5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $H$ là trực tâm nên $AH\perp BC$. $\overrightarrow{AH}=(16;8)$ có hệ số góc $\frac{1}{2}$ nên $BC$ có hệ số góc $-2$. Qua $M(3;5)$: $y-5=-2(x-3)\iff 2x+y-11=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}(16;8)$ là vecto chỉ phương của $AH$ (trùng $\overrightarrow{AH}$), không phải vecto pháp tuyến. Vecto pháp tuyến của $AH$ là $(1;-2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{u}}_{BC}=(1;-2)$, ${\vec{u}}_{AM}=(6;13)$. $\cos \alpha =\frac{|6-26|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{205}}=\frac{20}{5\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$.