Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, trên miền nghiệm $(S)$ của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}7x+2y+11\ge 0\\ x-y\le 1\\ 4x+5y\le 13\end{array}$ (miền không bị gạch bỏ), giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=3x-5y$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm (S) là tam giác với ba đỉnh là giao điểm từng cặp đường thẳng:
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $x-y=1$: thay $x=y+1$ vào $7(y+1)+2y=-11\Rightarrow 9y=-18\Rightarrow y=-2,x=-1$. Điểm $A(-1;-2)$, $T=3(-1)-5(-2)=7$.
- Giao của $x-y=1$ và $4x+5y=13$: thay $x=y+1$ vào $4(y+1)+5y=13\Rightarrow 9y=9\Rightarrow y=1,x=2$. Điểm $B(2;1)$, $T=6-5=1$.
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $4x+5y=13$: nhân phương trình thứ nhất với 5 và thứ hai với 2: $35x+10y=-55$ và $8x+10y=26$, trừ lại $27x=-81\Rightarrow x=-3$; khi đó $4(-3)+5y=13\Rightarrow y=5$. Điểm $C(-3;5)$, $T=3(-3)-5(5)=-9-25=-34$.

Vì $T=3x-5y$ là hàm tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất trên miền tam giác đạt tại một đỉnh. So sánh $T(A)=7$, $T(B)=1$, $T(C)=-34$, ta được $\min T=-34$ tại $C(-3;5)$ (điểm này khớp với hình vẽ: giao điểm của hai đường tại $(-3;5)$). Kết quả trùng với đáp án nguồn $-34$.