Xét hàm số $f(x)=\frac{x^2+x}{x-1}$ với $x\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$, có đồ thị là $(H)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Quy tắc thương: $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x)}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-x-1-x^2-x}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{(x-1{)}^2}$: đúng. b) $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=1\pm \sqrt{2}$; $f(1+\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}$, $f(1-\sqrt{2})=3-2\sqrt{2}$. Khoảng cách $=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$: đúng. c) Phép chia $x^2+x=(x-1)(x+2)+2$ nên $f(x)=x+2+\frac{2}{x-1}$, tiệm cận xiên là $y=x+2$, không phải $y=x-1$: sai. d) Trên $(1;+\infty )$, $f$ giảm trên $(1;1+\sqrt{2})$ rồi tăng trên $(1+\sqrt{2};+\infty )$, nên GTNN $=f(1+\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc thương cho $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị $(1\pm \sqrt{2},3\pm 2\sqrt{2})$, khoảng cách $\sqrt{8+32}=2\sqrt{10}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+2+\frac{2}{x-1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cực tiểu tại $x=1+\sqrt{2}$ với giá trị $3+2\sqrt{2}$ là GTNN trên $(1;+\infty )$.