Xét tính tăng hay giảm và bị chặn của dãy số: $u_n=\frac{2n-1}{n+3};n\in N^{\ast }$

(AI giải đề cho tôi)
Xét dãy số $u_n=\frac{2n-1}{n+3}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

**1) Tính tăng giảm:**
Ta có $u_n=\frac{2n-1}{n+3}=\frac{2(n+3)-7}{n+3}=2-\frac{7}{n+3}$.

Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n=\left(2-\frac{7}{n+4}\right)-\left(2-\frac{7}{n+3}\right)=\frac{7}{n+3}-\frac{7}{n+4}=\frac{7}{(n+3)(n+4)}>0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy tăng.

**2) Tính bị chặn:**
Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ta có $n+3\ge 4>0$, do đó $0<\frac{7}{n+3}\le \frac{7}{4}$, suy ra
$$2-\frac{7}{4}\le u_n<2⟺\frac{1}{4}\le u_n<2.$$

Thật vậy, $u_1=\frac{1}{4}$ là giá trị nhỏ nhất (dãy tăng), và $u_n<2$ với mọi $n$.

Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $\frac{1}{4}$ và bị chặn trên bởi $2$, tức là dãy bị chặn.

**Kết luận:** Dãy số $u_n=\frac{2n-1}{n+3}$ là dãy tăng và bị chặn (chặn dưới $\frac{1}{4}$, chặn trên $2$).