Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình cần biến đổi lượng giác (Toán học Lớp 11)

$\sin 3x+\cos 2x-m\sin x=1$
$\iff 3\sin x-4{\sin }^{3}x+1-2{\sin }^{2}x-m\sin x=1$
$\iff 4{\sin }^{3}x+2{\sin }^{2}x+(m-3)\sin x=0$
Đặt $\sin x=t$ với $t\in [-1;1]$. Ta có $\iff \left[\begin{array}{c}t=0\\ 4t^2+2t+(m-3)=0\end{array}\right](\ast )$
Với $t=0$ thì $\sin x=0\iff x=k\pi$, có 2 nghiệm là $0;\pi$ thuộc $\left(-\frac{\pi }{2};2\pi \right)$.
Với mỗi giá trị $t\in (-1;0)$ thì phương trình $\sin x=t$ có 3 nghiệm thuộc $\left(-\frac{\pi }{2};2\pi \right)$.
Với mỗi giá trị $t\in (0;1)$ thì phương trình $\sin x=t$ có 2 nghiệm thuộc $\left(-\frac{\pi }{2};2\pi \right)$.
Để pt có đúng 7 nghiệm thỏa mãn thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm $t_1;t_2$ thỏa mãn điều kiện: $-1<t_1<0<t_2<1$.
$(\ast )\iff m=-4t^2-2t+3=f(t)$



Từ bảng biến thiên trên ta có $m\in (1;3)$.

(Thang điểm: 2,0 điểm; các bước 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,5)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin (50^{\circ }-x)=\cos \left(90^{\circ }-(50^{\circ }-x)\right)=\cos (40^{\circ }+x)$. Phương trình trở thành $\cos (2x+20^{\circ })=\cos (40^{\circ }+x)$.

Trường hợp 1: $2x+20^{\circ }=40^{\circ }+x+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=20^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$.

Trường hợp 2: $2x+20^{\circ }=-(40^{\circ }+x)+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow 3x=-60^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=-20^{\circ }+k\cdot 120^{\circ }$.

Thử lại: với $x=20^{\circ }$: $\cos 60^{\circ }=\sin 30^{\circ }=0,5$ ✓; với $x=-20^{\circ }$: $\cos (-20^{\circ })=\sin 70^{\circ }$ ✓ (vì $\cos 20^{\circ }=\sin 70^{\circ }$).

Vậy tập nghiệm: $x=20^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }$ hoặc $x=-20^{\circ }+k\cdot 120^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $g(x)=\cos 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$ → a) Sai. Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ và đẳng thức $\cos 2x=1$ xảy ra tại $2x=k2\pi$, nên GTLN của $g(x)$ bằng 1 → b) Đúng. Phương trình $f(x)+g(x)=0$: $\sin x+\cos 2x=0\iff \sin x+1-2{\sin }^{2}x=0\iff 2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0\iff \sin x=1$ hoặc $\sin x=-\frac{1}{2}$. Suy ra $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$; $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$. Phương trình còn có họ nghiệm $\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ nên khẳng định c) (liệt kê thiếu họ nghiệm) là Sai. Với $x\in [0;\pi ]$: họ $\frac{\pi }{2}+k2\pi$ cho $x=\frac{\pi }{2}$; họ $-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ cho $x\in \{\frac{11\pi }{6},...\}$ không thuộc $[0;\pi ]$; họ $\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ cũng không cho nghiệm trong $[0;\pi ]$. Vậy chỉ có 1 nghiệm $x=\frac{\pi }{2}$, không phải 2 nghiệm → d) Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: S, Đ, S, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\cos 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$ (đó là tập giá trị).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ và $\cos 2x=1$ khi $x=k\pi$, hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x+\cos 2x=0\iff 2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0\iff \sin x=1$ hoặc $\sin x=-\frac{1}{2}$, cho họ nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$. Khẳng định thiếu họ nghiệm $\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;\pi ]$, chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}$ (các họ $-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ và $\frac{7\pi }{6}+k2\pi$ không cho nghiệm nào trong đoạn này). Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, không phải 2 nghiệm.

a) Điều kiện: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$. Chọn ĐÚNG.

b) Với $m=1$: $\frac{(\cos x+1)(\cos 2x-1)}{{\sin }^{2}x}=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\cos 2x=1\\ \cos x=-1\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}\sin x=0(l)\\ \cos x=-1(l)\end{array}\right]$. Vậy phương trình vô nghiệm trên $[0;2\pi ]$. Chọn SAI.

c) Với $m=\frac{1}{2}$: $\cos 2x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+l\pi \end{array}\right]$; các điểm biểu diễn nghiệm là $A,B,C,D$; Diện tích $S_{ABCD}=AB.BC=\sqrt{3}.1=\sqrt{3}$. Chọn ĐÚNG.

d) Với $\cos 2x=m$, đặt $2x=t\Rightarrow t\in \left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$, phương trình $\cos t=m$ có 2 nghiệm phân biệt khi $-1<m\le -\frac{1}{2}\iff -4<4m\le -2$ nên $4m\in \{-3;-2\}$. Chọn ĐÚNG.
a) Điều kiện: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$. Chọn ĐÚNG.
b) Với $m=1$, ta có: $$\frac{\cos x.\cos 2x-\cos x+\cos 2x-1}{\sin x}=0\iff \frac{(\cos x+1)(\cos 2x-1)}{{\sin }^{2}x}=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}\cos 2x=1\\ \cos x=-1\end{array}\right]$$ $$\iff \left[\begin{array}{c}1-2{\sin }^{2}x=1\\ \cos x=-1\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}\sin x=0(l)\\ \cos x=-1(l)\end{array}\right]$$ Vậy phương trình vô nghiệm trên $[0;2\pi ]$. Chọn SAI.
c) Với $m=\frac{1}{2}$, Ta có $\frac{(\cos x+1)\left(\cos 2x-\frac{1}{2}\right)}{\sin x}=0\iff \left[\begin{array}{c}\cos x=-1(loại)\\ \cos 2x=\frac{1}{2}(2)\end{array}\right]$. Ta có: $\cos 2x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{6}+l\pi \end{array}\right]$



Khi đó, các điểm biểu diễn của nghiệm là $A,B,C,D$. Diện tích $S_{ABCD}=AB.BC=\sqrt{3}.1=\sqrt{3}$. Chọn ĐÚNG.
d) Với $\cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi$: không có nghiệm $x\in \left[0;\frac{2\pi }{3}\right]$. Với $\cos 2x=m$, đặt $2x=t\Rightarrow t\in \left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$. Trên $\left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$, phương trình $\cos t=m$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[0;\frac{4\pi }{3}\right]$ khi $-1<m\le -\frac{1}{2}\iff -4<4m\le -2$ nên $4m\in \{-3;-2\}$. Vậy d) đúng. Chọn ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1a: Đặt $c=\cos x$ (với $-1\le c\le 1$). Ta có ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=(1-c^2{)}^2+c^4=1-2c^2+2c^4$. Phương trình trở thành $1-2c^2+2c^4=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}c$, nhân 4: $8c^4-8c^2-c+1=0$. Phân tích: thử $c=1$ là nghiệm, chia đa thức cho $(c-1)$ được $8c^3+8c^2-1=0$; thử $c=-\frac{1}{2}$ là nghiệm, phân tích tiếp $8c^3+8c^2-1=(2c+1)(4c^2+2c-1)$. Vậy $8c^4-8c^2-c+1=(c-1)(2c+1)(4c^2+2c-1)=0$. Các nghiệm: $c=1$; $c=-\frac{1}{2}$; $c=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}$ (đều thuộc $[-1;1]$). Do đó $x=2k\pi$; $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$; $x=\pm \arccos \frac{\sqrt{5}-1}{4}+2k\pi$; $x=\pm \arccos \left(-\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)+2k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Bài 1b: Từ ${\log }_a(a{b}^2)=5$ suy ra $1+2{\log }_{a}b=5\Rightarrow {\log }_{a}b=2\Rightarrow b=a^2$ (hợp lệ vì $a,b>1$). Khi đó $ab=a^3$ và $a^5{b}^2=a^5\cdot a^4=a^9$, nên $P={\log }_{a^3}{a}^9=\frac{9}{3}=3$.