Cho phương trình $\sin 3x+\cos 2x-m\sin x=1$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};2\pi \right)$.

$\sin 3x+\cos 2x-m\sin x=1$
$\iff 3\sin x-4{\sin }^{3}x+1-2{\sin }^{2}x-m\sin x=1$
$\iff 4{\sin }^{3}x+2{\sin }^{2}x+(m-3)\sin x=0$
Đặt $\sin x=t$ với $t\in [-1;1]$. Ta có $\iff \left[\begin{array}{c}t=0\\ 4t^2+2t+(m-3)=0\end{array}\right](\ast )$
Với $t=0$ thì $\sin x=0\iff x=k\pi$, có 2 nghiệm là $0;\pi$ thuộc $\left(-\frac{\pi }{2};2\pi \right)$.
Với mỗi giá trị $t\in (-1;0)$ thì phương trình $\sin x=t$ có 3 nghiệm thuộc $\left(-\frac{\pi }{2};2\pi \right)$.
Với mỗi giá trị $t\in (0;1)$ thì phương trình $\sin x=t$ có 2 nghiệm thuộc $\left(-\frac{\pi }{2};2\pi \right)$.
Để pt có đúng 7 nghiệm thỏa mãn thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm $t_1;t_2$ thỏa mãn điều kiện: $-1<t_1<0<t_2<1$.
$(\ast )\iff m=-4t^2-2t+3=f(t)$



Từ bảng biến thiên trên ta có $m\in (1;3)$.

(Thang điểm: 2,0 điểm; các bước 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,5)