Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\{\begin{array}{l}{u}_1=2025\\ n\left(u_{n+1}-u_n\right)=2\left(u_n+3\right),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$.
Tìm số hàng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right)$ và tính $\lim \frac{u_n}{n^2}$.

Từ giả thiết ta có: $n\left(u_{n+1}-u_n\right)=2\left(u_n+3\right)$
$n.u_{n+1}=(n+2)u_n+6$
$\iff \frac{u_{n+1}}{n+2}=\frac{u_n}{n}+\frac{6}{n(n+2)}$
$\iff \frac{u_{n+1}}{(n+1)(n+2)}=\frac{u_n}{n(n+1)}+\frac{6}{n(n+1)(n+2)}$
+) Đặt $v_n=\frac{u_n}{n(n+1)},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$
Ta được dãy $(v_n)$: $$\{\begin{array}{l}{v}_1=\frac{2025}{2}\\ v_{n+1}=v_n+\frac{6}{n(n+1)(n+2)},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$
Ta có $v_2=v_1+\frac{6}{\mathrm{1.2.3}};v_3=v_2+\frac{6}{\mathrm{2.3.4}};v_n=v_{n-1}+\frac{6}{(n-1).n.(n+1)}$
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được (phần lời giải tiếp theo nằm ở trang nguồn tiếp theo, không được cung cấp trong phần dữ liệu này).

(Thang điểm: 2,0 điểm; các bước 0,5 + 0,5 + ...)

Lưu ý: Bản đề in gốc ghi "số hàng tổng quát" (có thể là lỗi in của "số hạng tổng quát"), giữ nguyên theo nguồn.