Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Mặt phẳng $(\alpha )$ không đi qua $S$ cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt tại $M,N,P,Q$ sao cho $SA=2SM$ và $SC=3SP$. Tính $\frac{SB}{SN}+\frac{SD}{SQ}$.

Trong mặt phẳng $(SAC)$ gọi $G=SO\cap MP$.

Ba mặt phẳng $(SAC),(SBD),(\alpha )$ đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến $SO,MP,NQ$ nên $SO,MP,NQ$ đồng quy tại $G$.

Trong mặt phẳng $(SAC)$ vẽ $AE,CF$ song song với $MP$ ($E,F$ thuộc $SO$).

Vì $AE\parallel MP$ nên ta có: $\frac{SA}{SM}=\frac{SE}{SG}$.

$CF\parallel MP$ nên ta có: $\frac{SC}{SP}=\frac{SF}{SG}$.

Cộng vế với vế hai đẳng thức trên ta được:
$$\frac{SA}{SM}+\frac{SC}{SP}=\frac{SE+SF}{SG}=\frac{SO-OE+SO+OF}{SG}(1)$$

Xét $△AOE$ và $△COF$ có: $OA=OC$, $\widehat{AOE}=\widehat{COF}$, $\widehat{EAO}=\widehat{FCO}$

$\Rightarrow △AOE=△COF\Rightarrow OE=OF$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{SA}{SM}+\frac{SC}{SP}=2\frac{SO}{SG}$.

Tương tự $\frac{SB}{SN}+\frac{SD}{SQ}=2\frac{SO}{SG}$.

Suy ra $\frac{SB}{SN}+\frac{SD}{SQ}=\frac{SA}{SM}+\frac{SC}{SP}=2+3=5$.