Cho tứ diện $OABC$ có các cạnh $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc. Gọi $M$ là một điểm bất kì thuộc miền trong tam giác $ABC$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{M{A}^2}{O{A}^2}+\frac{M{B}^2}{O{B}^2}+\frac{M{C}^2}{O{C}^2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $OA=a,OB=b,OC=c$ và hệ trục toạ độ $O$ với $A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)$. Vì $M$ thuộc miền trong tam giác $ABC$ nên $M=\alpha A+\beta B+\gamma C$ với $\alpha ,\beta ,\gamma >0$, $\alpha +\beta +\gamma =1$, tức $M(\alpha a,\beta b,\gamma c)$.

Ta có:
$$M{A}^2=(1-\alpha {)}^2{a}^2+{\beta }^2{b}^2+{\gamma }^2{c}^2,$$
$$M{B}^2={\alpha }^2{a}^2+(1-\beta {)}^2{b}^2+{\gamma }^2{c}^2,$$
$$M{C}^2={\alpha }^2{a}^2+{\beta }^2{b}^2+(1-\gamma {)}^2{c}^2.$$

Suy ra
$$T=[(1-\alpha {)}^2+2{\alpha }^2]+[(1-\beta {)}^2+2{\beta }^2]+[(1-\gamma {)}^2+2{\gamma }^2]$$
$$=\sum _{\text{cyc}}(1-2\alpha +3{\alpha }^2)=3-2(\alpha +\beta +\gamma )+3({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2)=1+3({\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2).$$

Theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz:
$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2\ge \frac{(\alpha +\beta +\gamma {)}^2}{3}=\frac{1}{3}.$$

Vậy $T\ge 1+3\cdot \frac{1}{3}=2$. Dấu bằng xảy ra khi $\alpha =\beta =\gamma =\frac{1}{3}$, tức $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$ (thuộc miền trong tam giác, thỏa mãn).

Kết luận: $\min T=2$, đạt được khi $M$ là trọng tâm tam giác $ABC$.