Ba cầu thủ đá phạt đền 11m, mỗi người đá một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là $x$, $y$ và 0,6 (với $x>y$). Biết xác suất để ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để cả ba cầu thủ đều ghi bàn là 0,336. Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi xác suất ghi bàn của ba cầu thủ lần lượt là $x,y,0,6$ (các lần đá độc lập).

• Cả ba đều ghi bàn: $0,6xy=0,336\Rightarrow xy=0,56$.

• Ít nhất một người ghi bàn: $1-(1-x)(1-y)(1-0,6)=0,976\Rightarrow (1-x)(1-y)=0,24/0,4=0,06$.

Suy ra $1-(x+y)+xy=0,06\Rightarrow x+y=1+0,56-0,06=1,5$.

Vậy $x,y$ là nghiệm của $t^2-1,5t+0,56=0$, có $\Delta =2,25-2,24=0,01$, nên $t=\frac{1,5\pm 0,1}{2}$, tức $t\in \{0,8;0,7\}$. Vì $x>y$ nên $x=0,8$, $y=0,7$.

Xác suất có đúng hai cầu thủ ghi bàn:
$$P=xy(1-0,6)+(1-x)y\cdot 0,6+x(1-y)\cdot 0,6$$
$$=0,8\cdot 0,7\cdot 0,4+0,2\cdot 0,7\cdot 0,6+0,8\cdot 0,3\cdot 0,6=0,224+0,084+0,144=0,452.$$

Kiểm tra: $P(\ge 1)=1-0,2\cdot 0,3\cdot 0,4=0,976$ ✓; $P(3)=0,8\cdot 0,7\cdot 0,6=0,336$ ✓.

Vậy xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn là $0,452$.