Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)+1}{x-1}=16$. Tính $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^2+x\right)f(x)+2}{x-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)+1}{x-1}=16$ (hữu hạn) suy ra $\underset{x\to 1}{\lim }(f(x)+1)=0$, tức $f(1)=-1$. Khi đó tử số tại $x=1$: $(1+1)(-1)+2=0$, nên có dạng $\frac{0}{0}$.

Viết lại: $(x^2+x)f(x)+2=(x^2+x)(f(x)+1)-(x^2+x)+2=(x^2+x)(f(x)+1)-(x-1)(x+2)$.

Do đó:
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x^2+x)f(x)+2}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(x^2+x)\cdot \frac{f(x)+1}{x-1}-\underset{x\to 1}{\lim }(x+2)=2\cdot 16-3=29.$$