Một chiếc cầu bắc qua sông, mặt dưới gầm cầu có dạng cung $AB$ của đồ thị hàm số $y=\frac{8\sqrt{3}}{3}\cos \frac{x}{12}+2$ với $x\in \left[-6\pi ;6\pi \right]$ được mô tả trong hệ trục tọa độ $Oxy$ với đơn vị trục là mét (trục $Ox$ mô tả mặt nước sông) như hình minh họa dưới đây





Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 6 mét so với mặt nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 12,6 mét.

Cho phương trình $\sin 3x+\cos 2x-m\sin x=1$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};2\pi \right)$.

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 22,5 mét. Giả sử sau mỗi lần chạm đất quả bóng cao su lại nảy lên độ cao bằng 80\% độ cao của lần rơi trước. Tính chiều dài quãng đường quả bóng cao su di chuyển từ khi được thả đến khi không nảy nữa.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\{\begin{array}{l}{u}_1=2025\\ n\left(u_{n+1}-u_n\right)=2\left(u_n+3\right),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$.
Tìm số hàng tổng quát của dãy số $\left(u_n\right)$ và tính $\lim \frac{u_n}{n^2}$.

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)+1}{x-1}=16$. Tính $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^2+x\right)f(x)+2}{x-1}$.