Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{3a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{c}=6$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{\frac{a}{a+4bc}}+\sqrt{\frac{b}{b+9ca}}+\sqrt{\frac{c}{c+36ab}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $x=\frac{1}{3a},y=\frac{1}{2b},z=\frac{1}{c}$, thì $x,y,z>0$ và $x+y+z=6$.

Khi đó $a=\frac{1}{3x},b=\frac{1}{2y},c=\frac{1}{z}$, suy ra:
$$\frac{4bc}{a}=4\cdot \frac{1}{2y}\cdot \frac{1}{z}\cdot 3x=\frac{6x}{yz},\frac{9ca}{b}=\frac{6y}{xz},\frac{36ab}{c}=\frac{6z}{xy}.$$
Vậy
$$P=\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz+6x}}+\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{xz+6y}}+\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xy+6z}}.$$

Vì $6=x+y+z$ nên $yz+6x=yz+x(x+y+z)=x^2+xy+xz+yz=(x+y)(x+z)$. Tương tự $xz+6y=(x+y)(y+z)$, $xy+6z=(x+z)(y+z)$. Do đó
$$P=\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}}+\sqrt{\frac{xz}{(x+y)(y+z)}}+\sqrt{\frac{xy}{(x+z)(y+z)}}.$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz $(u+v+w{)}^2\le 3(u^2+v^2+w^2)$:
$$P^2\le 3\cdot \frac{yz(y+z)+xz(x+z)+xy(x+y)}{(x+y)(y+z)(x+z)}.$$
Tử số bằng $D-2xyz$ với $D=(x+y)(y+z)(x+z)$, nên
$$P^2\le 3\left(1-\frac{2xyz}{D}\right).$$
Theo $(x+y)(y+z)(x+z)\ge 8xyz$ (AM–GM), ta có $\frac{xyz}{D}\le \frac{1}{8}$, suy ra
$$P^2\le 3\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{9}{4}\Rightarrow P\le \frac{3}{2}.$$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=2$, tức $a=\frac{1}{6},b=\frac{1}{4},c=\frac{1}{2}$ (kiểm tra: $\frac{1}{3a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{c}=2+2+2=6$; khi đó mỗi căn bằng $\frac{2}{\sqrt{4\cdot 4}}=\frac{1}{2}$, $P=\frac{3}{2}$).

Kết luận: $\max P=\frac{3}{2}$ tại $a=\frac{1}{6},b=\frac{1}{4},c=\frac{1}{2}$.