Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Trung điểm trọng tâm và chia đoạn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I=(a;b)$ với $a+b+2=0\Rightarrow b=-a-2$, và $b<0$.

Vì tam giác vuông cân tại $C$ nên $CI$ là trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác: $CI\perp AB$, $CI=\frac{AB}{2}=5$, và $I$ là trung điểm $AB$ nên $A=I-5\vec{u}$, $B=I+5\vec{u}$ với $\vec{u}=(p;q)$, $p^2+q^2=1$.

Gọi $\vec{v}=\overrightarrow{IC}$, $|\vec{v}|=5$, $\vec{u}\perp \vec{v}$. Các điều kiện:
- $B\in BC$: $(5\vec{u}-\vec{v})\cdot (-7;1)=0$.
- $AC\perp BC$ (với ${\vec{n}}_{BC}=(1;7)$): $(A-C)\cdot (1;7)=(-5\vec{u}-\vec{v})\cdot (1;7)=0$.

Giải hệ với $\vec{u}\perp \vec{v}$ ta được $\frac{q}{p}=-\frac{4}{3}$ và $\vec{v}=\pm (4;3)$.

Thử các dấu: với $\vec{u}=\left(\frac{3}{5};-\frac{4}{5}\right)$ luôn được $a=-\frac{29}{4}\Rightarrow y_I=\frac{21}{4}>0$ (loại). Với $\vec{u}=\left(-\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right)$, $\vec{v}=(-4;-3)$: $B=(a-3;-a+2)$ thuộc $BC$: $7(a-3)-(-a+2)+31=0\Rightarrow 8a+8=0\Rightarrow a=-1$, khi đó $y_I=-1<0$ thỏa mãn; $C=I+\vec{v}=(-5;-4)$ kiểm tra $7(-5)-(-4)+31=0$ đúng.

Vậy $I(-1;-1)$, $\vec{u}=\left(-\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right)$:
$$A=I-5\vec{u}=(2;-5),B=I+5\vec{u}=(-4;3),C=(-5;-4).$$

Kiểm tra: $B\in BC:7(-4)-3+31=0$ đúng; $\overrightarrow{CA}=(7;-1)\perp {\vec{n}}_{BC}$ đúng; $\overrightarrow{CA}=(7;-1),\overrightarrow{CB}=(1;7)$ nên $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}$ và $|CA|=|CB|=\sqrt{50}$ (vuông cân tại $C$); $|AB|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=10$; $I$ là trung điểm $AB$, $I\in d_2$: $-1-1+2=0$, tung độ $I=-1<0$. Mọi điều kiện thỏa mãn, nghiệm duy nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 25: Cho $A(2;1)$, $B(-1;-2)$, $C(-3;2)$.

a) $C$ là trung điểm của $EB$ nên $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}$, tức $E=2C-B$. Tọa độ: $x_E=2(-3)-(-1)=-5$, $y_E=2\cdot 2-(-2)=6$. Vậy $E(-5;6)$.
Kiểm tra: trung điểm của $E(-5;6)$ và $B(-1;-2)$ là $\left(\frac{-5-1}{2};\frac{6-2}{2}\right)=(-3;2)=C$. Đúng.

b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=A+C-B$. Tọa độ: $x_D=2+(-3)-(-1)=0$, $y_D=1+2-(-2)=5$. Vậy $D(0;5)$.
Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(-3;-3)$, $\overrightarrow{DC}=(-3-0;2-5)=(-3;-3)$, nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, $ABCD$ là hình bình hành. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $AC$ và $S_{△ABC}=3S_{△ABM}$, hai tam giác có chung đường cao từ $B$ nên $\frac{S_{△ABM}}{S_{△ABC}}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{3}$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Với $A(1;2)$, $C(5;0)$: $\overrightarrow{AC}=(4;-2)$, nên $M=\left(1+\frac{4}{3};2-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{7}{3};\frac{4}{3}\right)$. Khi đó $P=3a-6b=3\cdot \frac{7}{3}-6\cdot \frac{4}{3}=7-8=-1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(3;-1),B(-4;2),C(4;3)$: $x_D=3+4-(-4)=11$, $y_D=-1+3-2=0$. Vậy $D(11;0)$, khớp đáp án A (mã đề 101, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chữ nhật $ABCD$ tâm $I$, đường chéo $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Tâm $I$ là trung điểm đường chéo nên $BI=\frac{BD}{2}=\frac{AC}{2}=\frac{5}{2}=2,5$. Vậy $\left|\overrightarrow{BI}\right|=2,5$, trùng với đáp số nguồn.

Tọa độ đỉnh $C$ thỏa mãn công thức trọng tâm: $x_C=3x_G-x_A-x_B=3(2)-(-2)-4=4$, $y_C=3y_G-y_A-y_B=3(-1)-3-(-1)=-5$.
Vậy $C(4;-5)$.