Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vay trả góp và niên kim (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $r=1,01$. Nợ sau 12 tháng: $100r^{12}-a(r^{11}+r^{10}+\cdots +r)-\frac{a}{2}=59$.

Tính $r^{12}\approx 1,12682503$, nên $100r^{12}-59=53,682503$.

Tổng ${\sum }_{k=1}^{11}{r}^k=\frac{r(r^{11}-1)}{r-1}=101(r^{11}-1)$ với $r^{11}\approx 1,11566835$, cho $\approx 11,682503$.

Vậy $a(11,682503+0,5)=53,682503\Rightarrow a=\frac{53,682503}{12,182503}\approx 4,408\approx 4,4$ triệu đồng, khớp đáp án 4,4.

Vay vốn rồi hàng tháng trả một số tiền cố định: Nếu khách hàng vay ngân hàng số tiền $A$ (đồng) với lãi suất $r\%$/tháng. Sau đúng một tháng kể từ ngày vay bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi lần hoàn nợ đúng số tiền $X$ (đồng). Số tiền khách hàng còn nợ sau $n$ tháng là: $$T_n=A(1+r{)}^n-\frac{X\left((1+r{)}^n-1\right)}{r}(\text{đoˆˋng}).$$

Gửi tiền vào ngân hàng rồi rút ra hàng tháng số tiền cố định: Nếu khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền $A$ (đồng) với lãi suất $r\%$/tháng. Vào ngày ngân hàng tính lãi mỗi tháng thì rút ra $X$ đồng. Số tiền thu được sau $n$ tháng là: $$T_n=A(1+r{)}^n-\frac{X\left((1+r{)}^n-1\right)}{r}(\text{đoˆˋng}).$$

Khách hàng vay số tiền ban đầu $A=350$ (triệu đồng); lãi suất $r=0,0079$; sau mỗi tháng tính từ ngày gọi khách hàng trả khoản tiền cố định $X=8$ (triệu đồng).

Số tiền khách hàng còn nợ được tính theo công thức $T_n=350\cdot 1,0079^n-\frac{8\left(1,0079^n-1\right)}{0,0079}$.

Xét $T_n=0\Rightarrow 350\cdot 1,0079^n-\frac{8\left(1,0079^n-1\right)}{0,0079}=0\Rightarrow n\approx 53,9$.

Xét tháng gần cuối trước khi khách hàng trả hết nợ (tháng thứ 53).

Số tiền còn nợ là $T_{53}=350\cdot 1,0079^{53}-\frac{8\left(1,0079^{53}-1\right)}{0,0079}\approx 7,08$ (triệu).

Lần tính lãi cuối cùng của ngân hàng cũng là số tiền cuối cùng mà khách hàng phải trả, khi đó $m=T_{53}\cdot (1+0,0079)\approx 7,14$ (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi n là số tháng. Nợ ban đầu 1000 triệu, lãi suất 0,5%/tháng, trả 30 triệu cuối mỗi tháng. Sau n tháng số nợ là $1000\cdot 1,005^n-30\cdot \frac{1,005^n-1}{0,005}=1000\cdot 1,005^n-6000(1,005^n-1)=6000-5000\cdot 1,005^n$. Trả hết nợ khi $1,005^n=1,2\Rightarrow n=\frac{\ln 1,2}{\ln 1,005}\approx 36,56$. Vậy cần 37 tháng để trả hết nợ (tháng thứ 37 trả phần còn lại nhỏ hơn 30 triệu). Đáp án B.

Áp dụng công thức dư nợ trả góp hàng tháng: $S_n=A(1+r{)}^n-\frac{m}{r}[(1+r{)}^n-1]=0⟺(1+r{)}^n=\frac{m}{m-Ar}$.
Với $A=500,m=10,r=0,009$, ta có $(1,009{)}^n=\frac{10}{10-500\times 0,009}=\frac{10}{5,5}=\frac{20}{11}$.
Suy ra $n={\log }_{1,009}\left(\frac{20}{11}\right)\approx 66,69$ tháng. Vậy cần 67 tháng để trả hết nợ. Chọn B.

Chọn C.
Số tiền còn nợ sau $n$ tháng trả góp được tính theo công thức:
$$T_n=A(1+r{)}^n-m(1+r)\frac{(1+r{)}^n-1}{r}$$
với $A=2500$ triệu đồng, $m=50$ triệu đồng, $r=0,51\%=0,0051$, $n=36$.
Thay số vào:
$$T_{36}=2500(1+0,0051{)}^{36}-50(1+0,0051)\frac{(1+0,0051{)}^{36}-1}{0,0051}\approx 1022\text{ triệu đoˆˋng}.$$

Áp dụng công thức trả góp: Số tiền còn nợ sau $n$ tháng là:
$S_n=A(1+r{)}^n-\frac{m}{r}[(1+r{)}^n-1]=0$.
Suy ra $(1+r{)}^n=\frac{m}{m-Ar}=\frac{10}{10-500\times 0,008}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$.
Do đó $n=\frac{\ln (5/3)}{\ln (1+0,008)}=\frac{\ln (5/3)}{\ln (1,008)}\approx 64,05$ tháng.
Vậy sau 65 tháng thì anh A trả hết nợ.
Chọn D.