Một ngã ba sông gồm ba bờ sông chứa các điểm $A$, $B$, $C$ cố định (như hình vẽ). Người ta muốn xây một cây cầu kết nối ba bờ sông xuất phát từ các vị trí $A$, $B$, $C$ và giao nhau tại vị trí $O$ trên sông sao cho $O$ cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$. Giả sử các vị trí $A,B,C,O$ có cùng độ cao so với mặt nước biển, điểm $A$ có độ cao so với mặt đất là 1 mét và bạn An đang đứng ở bờ sông chứa điểm $A$ trông thấy rất rõ hai vị trí $B,C$. Bằng công cụ đo đạc thô sơ như: thước đo độ dài, giác kế,… em hãy giúp bạn An đề xuất cách xác định khoảng cách từ $B$ đến $O$ với điều kiện không di chuyển trên sông và qua bến kia sông trong quá trình đo đạc.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn với $AB<AC$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh $DA$ là phân giác góc $\widehat{EDF}$.

Cho biểu thức: $$P(x)=1+x+2(1+x{)}^2+3(1+x{)}^3+\dots +n(1+x{)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$ Tính hệ số $a_7$ biết rằng $n$ là số nguyên dương thoả mãn $\frac{1}{C_n^2}+\frac{7}{C_n^3}=\frac{1}{n}$.

Cho đa giác đều có 40 đỉnh. Gọi $T$ là tập hợp tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba trong 40 đỉnh của đa giác đều đã cho.
a) Tính số tam giác vuông trong $T$.
b) Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc $T$. Gọi $A$ là biến cố: “Chọn được tam giác là tam giác vuông và không cân”. Tính xác suất của biến cố $A$.

Tìm tất cả số nguyên $x$ sao cho $x+3$ chia hết cho $x^2+1$.