Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn với $AB<AC$. Ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh $DA$ là phân giác góc $\widehat{EDF}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh DA là phân giác góc EDF:

Vì tam giác ABC có ba góc nhọn nên các chân đường cao D, E, F nằm trên các cạnh (D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB).

Bước 1: Tứ giác AEHF có $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^{\circ }$ (tổng hai góc đối bằng $180^{\circ }$) nên AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH. Suy ra $\widehat{EHF}=180^{\circ }-\hat{A}$.

Bước 2: Vì H nằm giữa E và... ta có $\widehat{BHE}=180^{\circ }-\widehat{EHF}=\hat{A}$ (E, H, B không thẳng hàng; B và F thuộc hai phía... chính xác: $\widehat{BHE}$ kề bù với $\widehat{EHF}$ vì B, H, F thẳng hàng).

Bước 3: Tứ giác BDHE có $\widehat{BDH}=\widehat{BEH}=90^{\circ }$ nên BDHE nội tiếp đường tròn đường kính BH. Hai góc $\widehat{BDE}$ và $\widehat{BHE}$ cùng chắn cung BE nên $\widehat{BDE}=\widehat{BHE}=\hat{A}$.

Bước 4: Vì $\widehat{ADB}=90^{\circ }$ nên $\widehat{ADE}=90^{\circ }-\widehat{BDE}=90^{\circ }-\hat{A}$.

Bước 5: Hoàn toàn tương tự, tứ giác CDHF nội tiếp (có $\widehat{CDH}=\widehat{CFH}=90^{\circ }$) cho $\widehat{FDH}=\widehat{FCH}=\hat{A}$... cụ thể: $\widehat{FDH}=\widehat{FCH}$ (cùng chắn cung FH), mà $\widehat{FCH}=90^{\circ }-\hat{B}$... ta chứng minh trực tiếp: $\widehat{ADF}=90^{\circ }-\widehat{CDF}$ và $\widehat{CDF}=\widehat{CHF}$ (tứ giác CDHF nội tiếp, cùng chắn cung CF), với $\widehat{CHF}=180^{\circ }-\widehat{EHF}=\hat{A}$ (vì E, H, C thẳng hàng). Suy ra $\widehat{ADF}=90^{\circ }-\hat{A}$.

Vậy $\widehat{ADE}=\widehat{ADF}=90^{\circ }-\hat{A}$, tức DA là phân giác góc $\widehat{EDF}$. $■$