Giải hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}{x}^3-y^3-8x-2y=0\\ x^2-3y^2-6=0\end{array}$$

(AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $$\{\begin{array}{l}{x}^3-y^3-8x-2y=0(1)\\ x^2-3y^2-6=0(2)\end{array}$$

TH1: $y=0$. Từ (2) suy ra $x^2=6$. Thay vào (1): $x^3-8x=x(x^2-8)=0$, mà $x^2=6\ne 8$, vô lý. Vậy $y\ne 0$.

TH2: $y\ne 0$. Đặt $x=ky$ với $k\ne 0$.

Từ (2): $(k^2-3)y^2=6$, nên cần $k^2>3$ và $y^2=\frac{6}{k^2-3}$.

Từ (1): $y^3(k^3-1)-2y(4k+1)=0\Rightarrow y^2(k^3-1)=2(4k+1)$ (do $y\ne 0$).

Thay $y^2$: $$\frac{6(k^3-1)}{k^2-3}=2(4k+1)\Rightarrow 3(k^3-1)=(4k+1)(k^2-3)$$
$$\Rightarrow 3k^3-3=4k^3+k^2-12k-3\Rightarrow k^3+k^2-12k=0\Rightarrow k(k+4)(k-3)=0$$

- $k=0$: loại vì cần $k^2>3$.
- $k=3$: $y^2=\frac{6}{9-3}=1\Rightarrow y=\pm 1$, $x=3y$. Ta được $(x;y)=(3;1)$ và $(-3;-1)$. Kiểm tra: $27-1-24-2=0$ và $-27+1+24+2=0$ đều thỏa.
- $k=-4$: $y^2=\frac{6}{16-3}=\frac{6}{13}\Rightarrow y=\pm \sqrt{\frac{6}{13}}$, $x=-4y$. Ta được $(x;y)=\left(-4\sqrt{\frac{6}{13}};\sqrt{\frac{6}{13}}\right)$ và $(x;y)=\left(4\sqrt{\frac{6}{13}};-\sqrt{\frac{6}{13}}\right)$. Kiểm tra: $x^2-3y^2=16y^2-3y^2=13y^2=6$ ✓; $x^3-y^3-8x-2y=-65y^3+30y=y(30-65y^2)=y\left(30-65\cdot \frac{6}{13}\right)=y(30-30)=0$ ✓.

Kết luận: Hệ có bốn nghiệm:
$$(x;y)\in \left\{(3;1),(-3;-1),\left(4\sqrt{\frac{6}{13}};-\sqrt{\frac{6}{13}}\right),\left(-4\sqrt{\frac{6}{13}};\sqrt{\frac{6}{13}}\right)\right\}.$$