Một ngã ba sông gồm ba bờ sông chứa các điểm $A$, $B$, $C$ cố định (như hình vẽ). Người ta muốn xây một cây cầu kết nối ba bờ sông xuất phát từ các vị trí $A$, $B$, $C$ và giao nhau tại vị trí $O$ trên sông sao cho $O$ cách đều ba điểm $A$, $B$, $C$. Giả sử các vị trí $A,B,C,O$ có cùng độ cao so với mặt nước biển, điểm $A$ có độ cao so với mặt đất là 1 mét và bạn An đang đứng ở bờ sông chứa điểm $A$ trông thấy rất rõ hai vị trí $B,C$. Bằng công cụ đo đạc thô sơ như: thước đo độ dài, giác kế,… em hãy giúp bạn An đề xuất cách xác định khoảng cách từ $B$ đến $O$ với điều kiện không di chuyển trên sông và qua bến kia sông trong quá trình đo đạc.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A,B,C,O$ có cùng độ cao so với mặt nước biển nên ta có thể coi bốn điểm này nằm trên cùng một mặt phẳng ngang. Điểm $O$ cách đều $A,B,C$ nên $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, do đó $OA=OB=OC=R$ (bán kính đường tròn ngoại tiếp). Vậy bài toán quy về việc tính $R$ chỉ từ các số liệu đo đạc được ở bờ chứa $A$.

Bước 1: Xác định $AB$ mà không qua sông.
- Chọn điểm $D$ nằm trên bờ sông chứa $A$ sao cho đoạn $AD$ nằm hoàn toàn trên bờ, đo được bằng thước: $AD=d$.
- Dùng giác kế đặt tại $A$ đo góc $\widehat{BAD}=\alpha$, đặt tại $D$ đo góc $\widehat{BDA}=\beta$ (An trông thấy rõ $B$ nên hai góc này đo được).
- Trong tam giác $ABD$: $\widehat{ABD}=180^{\circ }-\alpha -\beta$, theo định lý sin:
$$AB=d\cdot \frac{\sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}.$$

Bước 2: Hoàn toàn tương tự xác định $AC$: chọn điểm $E$ trên bờ chứa $A$, đo $AE=d^{\prime }$, đo $\widehat{CAE}={\alpha }^{\prime }$, $\widehat{CEA}={\beta }^{\prime }$, suy ra
$$AC=d^{\prime }\cdot \frac{\sin {\beta }^{\prime }}{\sin ({\alpha }^{\prime }+{\beta }^{\prime })}.$$

Bước 3: Đứng tại $A$, dùng giác kế đo góc $\widehat{BAC}=\gamma$ (An trông thấy rõ cả $B$ và $C$).

Bước 4: Tính $BC$ bằng định lý cosin trong tam giác $ABC$:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \gamma .$$

Bước 5: Vì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, góc ở tâm $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=2\gamma$ và $OB=OC=R$, tam giác $BOC$ cân nên
$$BC=2R\sin \gamma \Rightarrow R=\frac{BC}{2\sin \gamma }.$$

Kết luận: Khoảng cách cần tìm là
$$BO=R=\frac{\sqrt{A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos \gamma }}{2\sin \gamma },$$
trong đó $AB,AC$ được xác định bằng định lý sin với một đoạn cơ sở đo được trên bờ chứa $A$, còn $\gamma =\widehat{BAC}$ đo bằng giác kế. Toàn bộ phép đo chỉ thực hiện trên bờ chứa $A$, không phải di chuyển trên sông hay sang bến kia sông, thỏa mãn yêu cầu đề bài. (Thông tin $A$ cao 1 m so với mặt đất cùng với giả thiết $A,B,C,O$ cùng độ cao so với mặt nước biển chỉ khẳng định mô hình phẳng ở trên là hợp lệ.)