Cho biểu thức: $$P(x)=1+x+2(1+x{)}^2+3(1+x{)}^3+\dots +n(1+x{)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n.$$ Tính hệ số $a_7$ biết rằng $n$ là số nguyên dương thoả mãn $\frac{1}{C_n^2}+\frac{7}{C_n^3}=\frac{1}{n}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình điều kiện: $\frac{1}{C_n^2}+\frac{7}{C_n^3}=\frac{1}{n}$ với $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$, $C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.

Ta có: $\frac{2}{n(n-1)}+\frac{42}{n(n-1)(n-2)}=\frac{1}{n}$. Nhân hai vế với $n$ ($n\ge 3$): $\frac{2}{n-1}+\frac{42}{(n-1)(n-2)}=1$, suy ra $2(n-2)+42=(n-1)(n-2)$, tức $2n+38=n^2-3n+2\Rightarrow n^2-5n-36=0\Rightarrow n=9$ (nhận, $n=-4$ loại).

Tính $a_7$: hệ số của $x^7$ trong $P(x)={\sum }_{k=1}^{9}k(1+x{)}^k$. Với mỗi $k$, hệ số của $x^7$ trong $k(1+x{)}^k$ là $k{C}_k^7$ (bằng 0 khi $k<7$). Do đó:
$$a_7=\sum _{k=7}^{9}k{C}_k^7=7C_7^7+8C_8^7+9C_9^7=7\cdot 1+8\cdot 8+9\cdot 36=7+64+324=395.$$

Vậy $a_7=395$.