Cho dãy số $(u_n)$ có: $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}-\frac{n+1}{2}=\frac{n(2u_n-n)}{n+1}-\frac{1}{2(n+1)},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$ Tìm số hạng tổng quát $u_n$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=2n{u}_n-n^2-1$. Từ giả thiết: $$u_{n+1}=\frac{n+1}{2}+\frac{n(2u_n-n)}{n+1}-\frac{1}{2(n+1)}.$$ Nhân hai vế với $2(n+1)$: $$2(n+1)u_{n+1}=(n+1{)}^2+2n(2u_n-n)-1=(n+1{)}^2+4n{u}_n-2n^2-1.$$ Suy ra $$v_{n+1}=2(n+1)u_{n+1}-(n+1{)}^2-1=4n{u}_n-2n^2-2=2\left(2n{u}_n-n^2-1\right)=2v_n.$$ Vậy $(v_n)$ là cấp số nhân công bội $q=2$, với số hạng đầu $v_1=2\cdot 1\cdot 2-1^2-1=2$. Do đó $v_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n$, tức là $$2n{u}_n-n^2-1=2^n\Rightarrow u_n=\frac{2^n+n^2+1}{2n}=\frac{2^{n-1}}{n}+\frac{n}{2}+\frac{1}{2n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$ Kiểm tra: $u_1=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2$ đúng. Thay vào recurrence: $2u_n-n=\frac{2^n+1}{n}$, nên $\frac{n(2u_n-n)}{n+1}=\frac{2^n+1}{n+1}$, do đó $u_{n+1}=\frac{n+1}{2}+\frac{2^n+1}{n+1}-\frac{1}{2(n+1)}=\frac{n+1}{2}+\frac{2^{n+1}+1}{2(n+1)}$, đúng bằng công thức tại $n+1$. Vậy số hạng tổng quát là $u_n=\frac{2^n+n^2+1}{2n}$.