Giải phương trình: $\sin 4x-2{\cos }^{2}x+1=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $-2{\cos }^{2}x+1=-\cos 2x$, nên phương trình trở thành $$\sin 4x=\cos 2x=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2x\right).$$ Do đó $\sin 4x=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2x\right)$, với $\forall k\in \mathbb{Z}$:

**TH1:** $4x=\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi \iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.

**TH2:** $4x=\pi -\left(\frac{\pi }{2}+2x\right)+k2\pi \iff 6x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$.

Kiểm tra: với $x=\frac{\pi }{4}$: $\sin \pi -2\cdot \frac{1}{2}+1=0$ ✓; với $x=\frac{\pi }{12}$: $\sin \frac{\pi }{3}-2{\cos }^2\frac{\pi }{12}+1=\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$ ✓.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $$S=\left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}|k\in \mathbb{Z}\right\}.$$