Câu hỏi thực tiễn & thí nghiệm môn Toán học

Để đo chiều cao $CD$ của cây cổ thụ, bạn Bình chọn trên mặt đất hai điểm $A$, $B$ có khoảng cách $AB=12\text{m}$ cùng thẳng hàng với chân $C$ của gốc cây để đặt giác kế. Chân của giác kế có chiều cao $h=1,3\text{m}$. Gọi hai điểm quan sát $A_1$, $B_1$ cùng thẳng hàng với $C_1$ thuộc chiều cao $CD$ của cây cổ thụ. Bạn Bình đo được góc $\widehat{D{A}_1{C}_1}=49^{\circ }$ và $\widehat{D{B}_1{C}_1}=35^{\circ }$. Em hãy giúp bạn Bình tính chiều cao $CD$ của cây cổ thụ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Biết dân số của một thành phố (tính bằng nghìn người) sau $t$ năm kể từ năm 2020 được cho bởi công thức $P(t)=200.e^{0,03t}$. Hỏi sau bao nhiêu năm thì dân số của thành phố tăng gấp đôi so với ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Một cái cổng hình bán nguyệt rộng 6,8 mét và cao 3,4 mét. Mặt đường dưới cổng được chia thành hai làn xe ra vào. Một chiếc xe tải có chiều rộng 2,4m đi đúng làn đường quy định thì chiều cao (đơn vị mét) tối đa của xe tải để xe tải có thể qua cổng là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Bạn Hoa thường đi bơi ở hồ Sky Garden cạnh nhà, hồ bơi có thiết kế là một hình chữ nhật với chiều dài 25 m, chiều rộng 15,5 m và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt đường kính 10 m. Trong một lần bể bơi vắng người nên Hoa đã thực hiện một chu trình là bơi theo đoạn thẳng $AC$ rồi bơi tiếp đoạn thẳng $CM$, với $M$ là một vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Ngay sau đó bạn đi bộ theo một hướng qua điểm $D$ dọc bờ của hồ bơi để quay lại vị trí $A$ và kết thúc chu trình. (tham khảo hình vẽ).

Biết rằng vận tốc bơi của Hoa là 2,4 km/h, vận tốc đi bộ là 4,8 km/h và tốc độ bơi, vận tốc đi bộ không thay đổi trong một chu trình. Hỏi thời gian chậm nhất để Hoa thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một lập trình viên trò chơi điện tử muốn thiết lập cho hai nhân vật $A$ và nhân vật $B$ cùng xuất phát từ một điểm lần lượt theo hai lộ trình là một đường thẳng $(d_A):2mx+(m-3)y+4m-1=0$ và $(d_B):(m-1)x+(m+2)y+m-2=0$. Tìm tổng các giá trị của tham số $m$ để quỹ đạo di chuyển của hai nhân vật là vuông góc với nhau

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ nằm trên mặt nước, mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt nước, trục $Oz$ hướng lên trên (đơn vị độ dài trên các trục tọa độ là mét), một con chim bói cá đang ở vị trí (có hoành độ, tung độ và cao độ là các số thực dương) cách mặt nước $2\mathrm{m}$, cách các mặt phẳng $(Oxz),(Oyz)$ lần lượt là $3\mathrm{m}$ và $1\mathrm{m}$ phóng thẳng xuống vị trí con cá, biết con cá ở vị trí (có hoành độ và tung độ là các số thực dương) cách mặt nước $50\mathrm{cm}$, cách mặt phẳng $(Oxz),(Oyz)$ lần lượt là $1\mathrm{m}$ và $1,5\mathrm{m}$. Tính khoảng cách từ vị trí chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước và vị trí ban đầu của chim bói cá (đơn vị: mét, kết quả làm tròn tới hàng phần trăm).

Để xây một cái tháp, công ty Toàn Cầu cần đúc 4 chân tháp, mỗi chân tháp là một khối bê tông có dạng khối lăng trụ lục giác đều với chiều cao là $3m$ và cạnh lục giác dài $2m$. Chân tháp được đổ bê tông tươi với giá tiền $1300000$ đồng $/m^3$. Tính số tiền để mua bê tông tươi làm 4 chân tháp, theo đơn vị triệu đồng (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng đơn vị).

Một người đứng ở điểm $A$ trên một bờ sông rộng 300 m, chèo thuyền đến vị trí $D$, sau đó chạy bộ đến vị trí $B$ cách $C$ một khoảng 800 m như hình bên. Vận tốc chèo thuyền là 6 km/h, vận tốc chạy bộ là 10 km/h và giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể. Tính khoảng cách (theo đơn vị mét) từ vị trí $C$ đến $D$, biết tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ $A$ đến $B$ là 7,2 phút.

Khu trò chơi trẻ em Gấu Misa hiện có khách lượng ổn định mỗi ngày là 1.000 khách. Mỗi khách vào cổng mua vé giá 40.000 đồng. Một cuộc khảo sát cho thấy cứ mỗi lần giảm 2.000 đồng giá vé, khu trò chơi có thể có thêm 100 khách. Để doanh thu thu được là tối đa, khu trò chơi nên bán vé với giá là bao nhiêu nghìn đồng?

Câu 4: Nhiều người đã biết đến Elon Musk - CEO của Tesla với dự án mang tên Hyperloop. Đây là một giải pháp giao thông của tương lai khi nó sẽ giúp vận chuyển người và hàng hóa bằng một đường ống chân không với tốc độ tương đương một chiếc máy bay.

Tuy nhiên, Elon Musk không phải là người duy nhất có tham vọng muốn thay đổi cách tham gia giao thông của loài người. Đối thủ cạnh tranh trực tiếp với Hyperloop là Skyway - một công ty có trụ sở đặt tại Belarus. Đứng đầu Skyway là Anatoli Yunitski - một nhà phát minh, tác giả của hơn 200 công trình khoa học và 150 phát minh sáng chế. Mới đây, Anatoli Yunitski đã xuất hiện tại Việt Nam để giới thiệu về công nghệ vận tải đường ray dây Unitski (Unitski Rail - String Transport - UST). Điểm khác biệt của vận tải đường ray dây nằm ở việc thay vì được đặt trên mặt đất, các đường ray sẽ được thiết kế đặc biệt để có thể treo trên không. Bám vào hệ thống đường ray này là các cabin chạy bằng bánh sắt. Công nghệ này hiện đã triển khai tại Belarus. Mới đây, một thỏa thuận xây dựng 15km đường ray dây đã được SkyWay ký kết với Các tiểu vương quốc Ả rập Thống nhất (UAE). (Theo Vietnamnet.vn)



Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin Unitski xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;-2;1)$ (hướng chuyển động cùng chiều với hướng vectơ $\vec{u}$) với tốc độ là 4,5 (m/s); (đơn vị trên mỗi trục là mét).

Để chuẩn bị quảng bá sản phẩm, người ta trang trí tấm pano dạng parabol như hình vẽ, biết $OS=8\text{ m},AB=6\text{ m}$ với $O$ là trung điểm của $AB$. Tấm pano được chia thành ba phần để trang trí với mức chi phí khác nhau: phần trên là phần kẻ sọc giá $100000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần giữa là hình quạt tâm $O$ bán kính $3\text{ m}$ được tô đậm giá $200000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần còn lại giá $150000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Tính tổng chi phí để trang trí tấm pano (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
[IMAGE_1]

Một người đi dọc bờ biển từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ và quan sát một ngọn hải đăng tại vị trí C. Góc nghiêng của phương quan sát từ các vị trí A, B tới ngọn hải đăng với đường đi của người quan sát là $48^{\circ }$ và $79^{\circ }$. Biết khoảng cách giữa hai vị trí A, B là $125m$ (Hình vẽ). Ngọn hải đăng cách bờ biển bao nhiêu mét? (Kết quả phép tính cuối cùng làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Một máy bay bay qua tọa độ $A(18;-13;12)$ và $B(10;-8;9)$ trong quá trình tiếp cận hạ cánh. Tại điểm $O(0;0;0)$ có một trạm radar, radar này phát hiện được những vật thể bay cách nó $7\text{ km}$. Biết tốc độ bay của máy bay là $595\text{ km/h}$.
[IMAGE:img_q14_radar]

Nhà ba bạn Minh, Nam, Quý theo thứ tự ở ba vị trí $M,N,Q$. Có ba con đường thẳng nối nhà các bạn với độ dài các đoạn đường là $QM=3km,QN=6km$ và $QM\perp QN$ (tham khảo hình vẽ). Vào 9h00' sáng Chủ nhật, bạn Quý đi bộ đến nhà bạn Minh với tốc độ $4km/h$, cùng lúc đó bạn Minh đi xe đạp đến nhà bạn Nam với tốc độ $12km/h$. Hỏi sau bao nhiêu phút thì khoảng cách giữa hai bạn Minh và Quý là ngắn nhất. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười của phút).

Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh theo thời gian $t$ (tính bằng tuần) được cho bởi hàm số $N(t)=\frac{5000}{1+49e^{-0.8t}}$ với $t\ge 0$. Hàm số $N^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ lây lan của dịch bệnh tại thời điểm $t$. Hỏi vào khoảng tuần thứ mấy (làm tròn đến hàng đơn vị) thì tốc độ lây lan của dịch bệnh là lớn nhất?

Trong mặt phẳng $Oxy$, một trung tâm kiểm soát được đặt ở vị trí có tọa độ $O(0;0)$, đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một ô tô chuyển động hướng về trung tâm kiểm soát, đi qua hai vị trí $A(1;12),B(15;5)$. Khi ô tô ở gần trung tâm kiểm soát nhất thì tọa độ của vị trí ô tô là $(a;b)$. Giá trị của biểu thức $a+b$ là bao nhiêu ?

Kết thúc học kì 1, cô giáo đã chuẩn bị 8 hộp bút bi, 7 tập vở viết và 5 bộ dụng cụ vẽ hình (thước kẻ, compa, êke, thước đo độ) để làm phần thưởng cho 10 học sinh có kết quả xuất sắc nhất lớp. Mỗi học sinh nhận thưởng sẽ được 2 phần thưởng khác loại. Trong số 10 học sinh trên có 2 học sinh tên Dũng và Nam. Tìm xác suất để Dũng và Nam có phần thưởng giống nhau.

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là $8\text{m}$, chiều rộng là $6\text{m}$ và chiều cao là $3\text{m}$. Một bóng đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học và cách trần nhà $0,2\text{m}$ (giả sử rằng xem bóng đèn là một điểm cách trần nhà $0,2\text{m}$). Trong tiết Thực hành trải nghiệm, thầy giáo yêu cầu học sinh đo khoảng cách từ góc phòng (ví dụ điểm $A$ như hình vẽ) đến bóng đèn (điểm $G$ trên hình vẽ) với yêu cầu là để đảm bảo an toàn nên học sinh không được leo trèo mà chỉ thực hiện các phép đo trên sàn nhà. Hỏi khoảng cách từ bóng đèn ($G$) đến góc dưới nhà ($A$) là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một hòn đảo nằm trong một hồ nước. Biết rằng đường cong tạo nên hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ $Oxy$ là một phần của đồ thị hàm số $f(x)=-x^3+3x^2+4$, với đơn vị của hệ trục là $100\mathrm{m}$. Mặt đường chạy trên một đường thẳng có phương trình $y=36-9x$. Người ta muốn làm một cây cầu có dạng một đoạn thẳng nối từ hòn đảo ra mặt đường. Độ dài ngắn nhất của cây cầu bằng bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong ngày hội trợ nhân ái của trường THPT Trần Quang Khải. Lớp 12A1 làm các vòng tay với chi phí mỗi vòng tay là 20 ngàn đồng. Nếu mỗi vòng tay có giá bán là $x$ (ngàn đồng) thì số lượng vòng tay bán được sẽ là $q(x)=100-x$. Hãy tính lợi nhuận lớn nhất mà lớp 12A1 đạt được? (đơn vị ngàn đồng)