Câu hỏi thực tiễn & thí nghiệm môn Toán học

Một cửa hàng thời trang tự thiết kế (Local Brand) đang bán một mẫu áo phông. Hiện tại, trung bình mỗi tháng cửa hàng bán được $500$ chiếc với giá $300$ nghìn đồng/chiếc. Dữ liệu nghiên cứu thị trường cho thấy nếu cứ giảm giá bán $30$ nghìn đồng/chiếc, số lượng áo bán ra sẽ tăng thêm $100$ chiếc mỗi tháng. Biết hàm giá bán $p(x)$ theo số lượng $x$ chiếc áo bán ra là một hàm số bậc nhất. Cửa hàng sản xuất áo với tổng chi phí hàng tháng là $C(x)=0,12x+50$ (triệu đồng), trong đó $0,12$ triệu đồng là chi phí nguyên vật liệu cho một chiếc áo và $50$ triệu đồng là chi phí mặt bằng, nhân sự. Cửa hàng nên bán mỗi chiếc áo với giá bao nhiêu nghìn đồng để thu được lợi nhuận cao nhất?

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế tính được tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ $t$ (kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên) là $f(t)=-3t^2+90t+10$. Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí điểm $I(1;0;0)$ và phát ra ánh sáng trong phạm vi mặt cầu $(S)$ tâm $I$ bán kính $R=2\text{ km}$. Hai tàu đánh cá $A$ và $B$ di chuyển với phương trình chuyển động lần lượt là tàu $A:\{\begin{array}{l}x=15-80t\\ y=-20+60t\\ z=0\end{array}$ và tàu $B:\{\begin{array}{l}x=-10+60t\\ y=15+80t\\ z=0\end{array}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ ($t\ge 0$).

Một nhóm các kỹ sư muốn xây dựng một cây cầu vòm dàn thép với giá đỡ dưới bằng thép cao cấp có hình dáng là một Parabol nối từ $2$ cột trụ $A$ và $B$ nằm bên dưới cây cầu, biết hai cột trụ cách nhau $400\text{ m}$, khoảng cách từ trụ $A$ đến cây cầu là $50\text{ m}$ và $AB$ song song với mặt đường.

Gắn hệ trục toạ độ $Oxy$ vào cây cầu với đơn vị trục toạ độ là $10\text{ m}$. Giá đỡ dưới bằng thép là đường cong Parabol tạo với $2$ trục toạ độ các hình phẳng có diện tích $S_1,S_2$ như hình vẽ bên, biết rằng $S_2-2S_1=\frac{2200}{21}$. Điểm cao nhất của giá đỡ dưới bằng thép cao cấp cách mặt đường cây cầu bao nhiêu mét? *(Làm tròn đến hàng phần mười)*

Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc xe ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng?

Một trường học dự định xây một phòng học dạng hình hộp chữ nhật không có vách ngăn. Biết nền phòng học có chiều rộng bằng $5,5m$ và phòng học có thể tích là $330m^3$. Hãy tính chiều dài phòng học để diện tích sơn tường (4 mặt xung quanh và trần, không kể nền) là ít nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 5: Anh An vừa tốt nghiệp đại học và được nhận vào làm việc tại một công ty với một trong hai phương án lương như sau:
• Phương án 1: lương khởi điểm 10 triệu đồng một tháng, cứ sau tròn 3 năm thì tăng lương mỗi tháng 6 triệu đồng so với mỗi tháng của 3 năm trước đó.
• Phương án 2: lương khởi điểm 10 triệu đồng một tháng, cứ sau tròn 3 năm thì tăng lương mỗi tháng 40%, so với mỗi tháng của 3 năm trước đó.
Nếu anh An kí hợp đồng làm việc 20 năm thì sau 20 năm đi làm, tổng tiền lương anh nhận được theo phương án 2 nhiều hơn phương án 1 bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trường THPT A dự định tổ chức cho nhân viên và giáo viên đi tham quan Huế trong hai ngày. Trường THPT A dự định nếu đặt giá tour là 2 triệu đồng/người của công ty du lịch B thì sẽ có khoảng 50 người tham gia. Để kích thích mọi người tham gia, công ty du lịch B quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tour 100 ngàn đồng/người thì sẽ có thêm 10 người tham gia. Biết rằng khi công ty du lịch B bán giá $m$ (triệu đồng/người) thì doanh thu từ tour này là lớn nhất. Tính $m$ (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Một người gửi tiền tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất $6,3\%$ / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?

Câu 6. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên).

Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch là $\frac{m}{n}$ (đơn vị $c{m}^2$, $m,n\in \mathbb{N},\frac{m}{n}$ là tối giản $)$, tính giá trị biểu thức $T=2m+n$

Một cái hồ rộng có hình chữ nhật, tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $3\text{ m}$ và cách bờ $AD$ là $9\text{ m}$, rồi dùng một cây sào thẳng $PQ$ ngăn một góc của hồ để nuôi vịt (tam giác $APQ$ như hình vẽ) sao cho cây sào chạm vào hai bờ $AB,AD$ và cây cọc $K$. Tính diện tích của góc hồ nuôi vịt khi chiều dài của cây sào $PQ$ là ngắn nhất. (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của đơn vị ${\text{m}}^2$)

Nếu một khoản tiền gốc $P$ được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm $r$ ($r$ được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi $n$ lần trong một năm, thì tổng số tiền $A$ nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau $N$ kì gửi cho bởi công thức sau: $A=P{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^N$. Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo kì hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5\% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Trong y học, máy tán sỏi ngoài cơ thể (Lithotripter) hoạt động dựa trên tính chất quang học của đường elip. Thiết bị này có một mặt phản xạ có mặt cắt là một nửa đường elip. Khi hoạt động, nguồn phát sóng xung kích được đặt tại tiêu điểm $F_1$ của elip, và viên sỏi thận của bệnh nhân được bác sĩ định vị chính xác tại tiêu điểm $F_2$ còn lại. Theo tính chất của elip, mọi tia sóng phát ra từ $F_1$ sau khi chạm vào mặt phản xạ đều hội tụ chính xác tại $F_2$, tạo ra năng lượng đủ lớn để phá vỡ viên sỏi mà không cần phẫu thuật. Một thiết bị tán sỏi thận có mặt cắt là một nửa đường elip với độ dài trục lớn là $20\text{ cm}$ và khoảng cách từ tiêu điểm đến tâm của elip là $8\text{ cm}$. Xét một tia sóng phát ra từ nguồn $F_1$, đi theo phương vuông góc với trục lớn tại chính vị trí tiêu điểm $F_1$, chạm vào mặt phản xạ tại điểm $M$ rồi truyền đến viên sỏi tại tiêu điểm $F_2$. Tính độ dài quãng đường $M{F}_2$ (đơn vị: $\text{cm}$) từ điểm phản xạ đến viên sỏi.

Công ty FTK về mua bán xe ô tô đã qua sử dụng, sau khi khảo sát thị trường 6 tháng đã đưa ra công thức chung về giá trị còn lại của ô tô 4 chỗ kể từ khi đưa vào sử dụng (các loại xe 4 chỗ không sử dụng mục đích kinh doanh) được tính $P(t)=A.{\left(\frac{3}{4}\right)}^{\frac{t}{4}}$. Trong đó $A$ là giá tiền ban đầu mua xe, $t$ là số năm kể từ khi đưa vào sử dụng. Giá trị còn lại của xe ô tô sau 30 tháng đưa vào sử dụng có dạng $\mathrm{768.601.}abc$, với $a;b;c$ là các số nguyên, tính giá trị $S=a+b+c$? Biết giá trị mua xe ban đầu là 920 triệu.

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng cách $AB=5km$. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách $B$ một khoảng là 8 km. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ $A$ đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $7km/h$ rồi đi bộ đến $C$ với vận tốc $5km/h$ như hình vẽ. Tính khoảng cách từ vị trí $B$ đến $M$, biết thời gian người đó đi từ $A$ đến $C$ là 2 giờ. (Kết quả làm tròn đến phần chục)

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát (người giám sát sẽ giám sát tất cả các máy). Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Để chi phí hoạt động thấp nhất, công ty cần sử dụng bao nhiêu máy?

Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài $4\text{ m}$ để uốn thành khung cửa sổ có dạng như hình vẽ. Gọi $r$ là bán kính của nửa đường tròn, tìm $r$ (theo mét) để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất.


Anh Bình đầu tư một khoản vốn vào ba loại trái phiếu với lãi suất như sau:



Sau khi tìm hiểu về thuế và mức độ rủi ro của từng loại trái phiếu, anh Bình đã đưa ra phương án phân bổ vốn đầu tư vào ba loại trái phiếu A, B, C thỏa mãn tất cả tiêu chí sau:
- Số vốn đầu tư cho trái phiếu A lớn hơn hoặc bằng hai lần số vốn đầu tư cho trái phiếu B.
- Số vốn đầu tư cho trái phiếu C không vượt quá 25\% tổng số vốn đầu tư.

Sau một năm, với phương án phân bổ vốn đầu tư như trên thì tỉ suất lợi nhuận lớn nhất của anh Bình là bao nhiêu phần trăm?

Trong đó: Tỉ suất lợi nhuận là tỉ lệ phần trăm giữa số tiền lãi thu được và số tiền vốn đã bỏ ra đầu tư trong một đơn vị thời gian, thường được tính theo đơn vị là một năm.

Một trạm thu phát sóng mạng điện thoại di động 4G đặt tại vị trí $I(2;-3)$ trong mặt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét), biết trạm thu được thiết kế với bán kính phủ sóng là $4km$. Hỏi một người ở vị trí $A(-2;3)$ có thể kết nối được vào mạng 4G của trạm hay không?

Một công ty thiết kế mẫu huy hiệu để tặng cho khách hàng thân thiết của mình (xem hình bên). Trong đó $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng 4 cm, các đường cong $AOD$ và $BOC$ là một phần của các parabol đỉnh $O$. Với hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) thì điểm $A$ có tung độ bằng 1. Biết phần tô đậm trong hình vẽ được phủ vàng với chi phí 1 triệu đồng/1cm², phần còn lại được phủ bạc với chi phí 300 nghìn đồng/1cm², các chi phí còn lại là 500 nghìn đồng.