Câu hỏi thực tiễn & thí nghiệm môn Toán học

Ông Bình có một hồ nuôi cá có diện tích mặt hồ (miền tô màu như hình vẽ bên) được mô hình là miền giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số $f(x)=-\frac{1}{10}{x}^3+\frac{9}{10}{x}^2-\frac{3}{2}x+\frac{28}{5}$. Đơn vị đo độ dài trên mỗi trục tọa độ là 100 mét. Một con sông có bờ chạy dọc theo đường thẳng $d:y=-1,5x+18$. Ông Bình dự định xây dựng trên bờ hồ một trạm để lọc nước cho hồ tại vị trí $M$ sao cho khoảng cách từ trạm này đến bờ con sông là ngắn nhất. Nếu điểm xây trên bờ hồ (thuộc đồ thị đã cho) là $M(a;b)$ thì số tiền để xây trạm tương ứng là $(4a+5b)$ triệu đồng, đồng thời chi phí mỗi mét ống nối từ trạm này ra bờ sông là 0,45 triệu đồng. Tổng chi phí (xây trạm và đường ống) ít nhất mà Ông Bình dùng để hoàn thành công trình trên là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng)

Một cốc chứa 20 ml dung dịch KOH với nồng độ 100 mg/ml và một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 10 mg/ml. Lấy $x$ (ml) ở bình trộn vào cốc ta được dung dịch KOH có nồng độ $C(x)$. Coi $C(x)$ là hàm số xác định với $x\ge 0$. Khi $x\in [5;15]$, nồng độ của dung dịch KOH đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu mg/ml?

Một kiến trúc sư thiết kế bồn hoa trong công viên trên hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị: mét). Bồn hoa là hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y=-x^2+4$ và trục hoành $Ox$. Kiến trúc sư bố trí một dải đèn LED thẳng, được mô phỏng bởi đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(0;1)$, cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ (có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2$). Dải đèn chia bồn hoa thành hai phần riêng biệt: Phần hình phẳng nằm phía trên dây cung $AB$ được dùng để trồng Hoa Hồng, phần còn lại của bồn hoa (nằm phía dưới dây cung $AB$) được dùng để trồng Cỏ Nhật.

Bộ phận sản xuất của một công ty xác định chi phí để sản xuất $x$ sản phẩm được cho bởi biểu thức $T(x)=x^2-20x+400$ (nghìn đồng). Nếu $x$ sản phẩm đều được bán hết và giá bán mỗi sản phẩm là 100 nghìn đồng thì lợi nhuận lớn nhất mà công ty thu được là bao nhiêu?

Kí hiệu $h(x)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 3 m; trong các năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $h^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{2}}{x}$ (tính theo mét/năm). Chiều cao của cây đó sau 5 năm bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Nhu cầu canxi tối thiểu cho một người đang ở độ tuổi trưởng thành trong một ngày là $1000mg$. Trong một lạng đậu nành có $277mg$ canxi, một lạng thịt bò có $18mg$ canxi. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số lạng đậu nành và số lạng thịt bò mà một người đang ở độ tuổi trưởng thành ăn trong một ngày. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ để biểu diễn lượng canxi cần thiết trong một ngày của một người đang trong độ tuổi trưởng thành có dạng $ax+by\ge 1000$ với $a,b$ là các số nguyên dương. Tính giá trị $T=a-b$.

Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h$ (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm $t$ (giờ) trong một ngày bởi công thức $h=3\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)+12$. Mực nước của kênh cao nhất khi $t$ bằng bao nhiêu?

Năm 2025, dân số của một quốc gia châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số $A$ (triệu người) của quốc gia đó sau $t$ năm kể từ năm 2025 được ước tính bằng công thức $A=19.2^{\frac{t}{30}}$. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa, dân số quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (làm tròn đến chữ số hàng triệu)

Một cây cầu có dạng cung $AB$ của đồ thị hàm số $y=4,8\cos \frac{x}{9}$ và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như ở hình vẽ. Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3,6m so với mặt nước sông.



Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $417\text{ km}$ sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu.
[IMAGE_1]

Tính khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu (đơn vị: kilômét, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một cái hồ rộng có hình chữ nhật, tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $2m$ và cách bờ $AD$ là $8m$, rồi dựng một cây sào thẳng $PQ$ ngăn một góc của hồ để thả bèo (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào hai bờ $AB$, $AD$ và cây cọc $K$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục của mét)

Một công ty sản xuất linh kiện điện tử xác định rằng nếu sản xuất $x$ sản phẩm mỗi tháng ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast };1\le x\le 5000$) thì doanh thu thu được khi bán hết số hàng đó là $R(x)=-0,01x^2+500x$ (nghìn đồng). Biết chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $H(x)=\frac{60000}{x}+420$ (nghìn đồng). Giả sử công ty luôn bán hết số sản phẩm làm ra. Hỏi trong một tháng, công ty cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn $60$ triệu đồng?

Hình vẽ bên dưới mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí $I$ có tọa độ $(-2;1)$ trong mặt phẳng tọa độ (đơn vị trên hai trục là km). Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có tọa độ $(-3;4)$ di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng 3 km.

Câu 4. (0,5 điểm) Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $AB=4km$. Trên bờ biển có một trạm cứu hộ ở vị trí $C$ cách $B$ một khoảng là $7km$. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ $A$ đến vị trí $M$ trên bờ biển với vận tốc $3km/h$ rồi đi bộ đến $C$ với vận tốc $5km/h$. Tính khoảng cách từ vị trí $B$ đến $M$, biết thời gian người đó đi từ $A$ đến $C$ là 148 phút.

Khi một cánh quạt của cối xay gió quay, độ cao của đỉnh cánh quạt so với mặt đất sau $t$ giây (kể từ lúc bắt đầu quay, $t>0$) được tính bởi công thức: $H(t)=15\cos \left(\frac{\pi t}{36}\right)+22$ (mét). Hãy xác định thời điểm đầu tiên đỉnh cánh quạt đó đạt độ cao lớn nhất.

Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của $x$ (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau: $P(x)=\{\begin{array}{ll}4,5x& \text{khi }0<x\le 200\\ 3x+a& \text{khi }x>200\end{array}$ ($a$ là một hằng số)
Với giá trị nào của $a$ thì hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0;+\infty )$ ?

Một quả bóng bầu dục phù hợp cho học sinh tiểu học có kích thước $24cm$ từ đầu này đến đầu kia và đường kính $16cm$ ở phần dày nhất.



Hình dạng của quả bóng bầu dục có kích thước nói trên có thể được tạo thành khi quay phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x)=-\frac{1}{18}{x}^2+\frac{8}{9}x+\frac{40}{9}$, trục hoành và các đường thẳng $x=-4,x=20$ quanh trục $Ox$, trong đó $x$ tính bằng centimet ($cm$). Thể tích của quả bóng bầu dục đã cho bằng bao nhiêu centimet khối? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cô Hà có 10 khay làm đá giống nhau (như hình dưới), mỗi khay sẽ tạo được 6 viên đá. Các viên đá có dạng khối chóp cụt tứ giác đều có cạnh của đáy lớn bằng $3cm$, cạnh của đáy nhỏ bằng $1,5cm$ và cao $3cm$.



Hỏi cô Hà cần dùng bao nhiêu lít nước để làm đá nếu cô dùng hết cả 10 khay? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một chiếc cổng hình Parabol có chiều cao $5m$, khoảng cách giữa hai chân cổng là $2\sqrt{5}m$. Để vận chuyển thùng hàng hình hộp chữ nhật qua cổng, người ta dùng một xe kéo có chiều cao $1m$. Biết rằng mặt cắt của thùng hàng qua cổng là hình chữ nhật, hỏi diện tích hình chữ nhật đó lớn nhất là bao nhiêu $m^2$ để xe chở thùng hàng có thể đi qua được cổng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một giàn khung thép đỡ bồn nước sinh hoạt có dạng là hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Để giàn đỡ có kết cấu chắc chắn người ta hàn thêm $1$ số thanh sắt (hình vẽ), trong đó có hai thanh $A{B}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }$. Cho biết cạnh đáy của giàn đỡ $AB=2(\text{m})$. Tính thể tích $V({\text{m}}^3)$ của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ *(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)*.