Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay bằng tích phân (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay quanh trục $Ox$: $V=\pi {\int }_{-1}^2(x+1{)}^{2}dx=\pi {\frac{(x+1{)}^3}{3}|}_{-1}^2=\pi \left(\frac{27}{3}-0\right)=9\pi$. Khớp với đáp án nguồn (mã 218, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;3]$, $f(x)=(x-1)(x-3)\le 0$ nên $V=\pi {\int }_1^3{f}^2(x)dx$. Đặt $u=x-2$, $f=u^2-1$, $u\in [-1;1]$: ${\int }_{-1}^1(u^2-1{)}^{2}du=2{\int }_0^1(u^4-2u^2+1)du=2\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1\right)=\frac{16}{15}$. Vậy $V=\frac{16}{15}\pi$, khớp đáp án nguồn (mã 144, Câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục Oz dọc theo OO', gốc tại O, z dương hướng lên về B. Khi đó B(0;7), A(5;-3) (vì OO'=3, OB=10 nên B cao hơn O là 10-3=7; A nằm trên mặt đáy dưới, cách trục OA=5, thấp hơn O là 3). Parabol đỉnh B có dạng r(z)=a(z-7)^2; qua A: 5=a·100 nên a=1/20.

Thể tích phần paraboloid (từ z=-3 đến z=7):
V1=π∫_{-3}^{7} (z-7)^4/400 dz = π·[(7-z)^5/2000]_{-3}^{7} = π·10^5/2000 = 50π.

Phần trụ dưới (bán kính 5, chiều cao 3): V2=π·25·3=75π.

V=125π≈392,699≈393 (m^3).

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0, 3/2] thì f(x) = 5x^4 - 3x^5 = x^4(5 - 3x) >= 0. Thể tích khối tròn xoay V = π∫₀^{3/2} (5x^4 - 3x^5)^2 dx = π∫₀^{3/2} (25x^8 - 30x^9 + 9x^{10}) dx = π[25x^9/9 - 3x^{10} + 9x^{11}/11]₀^{3/2}. Thay x = 3/2: 25/9·(19683/512) - 3·(59049/1024) + 9/11·(177147/2048) ≈ 106.79 - 173.00 + 70.77 ≈ 4.56, nên V ≈ 4.56π < 5π. Đúng. b) Trên [2, 4] thì f(x) < 0 (f(2) = -16, f(4) = -1792), nên diện tích S = ∫₂⁴ (3x^5 - 5x^4) dx = [x^6/2 - x^5]₂⁴ = (2048 - 1024) - (32 - 32) = 1024. Đúng. c) ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ (5x^4 - 3x^5) dx = I - J, không phải I + J. Sai. d) I = ∫ₐᵇ 5x^4 dx = 5A, suy ra A = I/5 chứ không phải A = 5I. Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
V = π∫₀^{3/2}(5x^4-3x^5)^2 dx ≈ 4.56π < 5π nên đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(x) < 0 trên [2,4], S = ∫₂⁴(3x^5-5x^4)dx = [x^6/2 - x^5]₂⁴ = 1024, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫ₐᵇ f(x)dx = I - J, không phải I + J, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
I = 5A nên A = I/5, không phải A = 5I, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y=e^x$, trục $Ox$, $x=0$, $x=1$ quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^1(e^x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{e}^{2x}dx=\pi \cdot \frac{e^{2x}}{2}{|}_0^1=\frac{\pi }{2}(e^2-1)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục Ox là $V=\pi {\int }_0^1(e^{3x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1{e}^{6x}dx$. Vậy đáp án C.

Chọn B.
Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x),y=g(x)$ và các đường thẳng $x=a,x=b$ xung quanh trục $Ox$ là:
$V=\pi {\int }_a^b|(f(x){)}^2-(g(x){)}^2|dx$.
Vì $f(x)>g(x)>0$ nên $(f(x){)}^2>(g(x){)}^2>0$, công thức là $V=\pi {\int }_a^b((f(x){)}^2-(g(x){)}^2)dx$, tương ứng với phương án B.

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Ta có $V=\pi {\int }_0^1(e^x{)}^2\mathrm{d}x=\pi {\int }_0^1{e}^{2x}\mathrm{d}x=\frac{\pi (e^2-1)}{2}$.

Áp dụng phương pháp tọa độ hóa và tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục hoành $AB$, ta lấy thể tích khối trụ trừ đi thể tích vật thể do miền $(R)$ tạo ra, được $V=\frac{832\pi }{15}{\text{ cm}}^3$. Chọn D.

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục $Ox$ là $V=\pi {\int }_0^5[f(x){]}^{2}dx=\pi {\int }_0^5(x^2+3{)}^{2}dx$.
(Theo bảng đáp án chính thức mã đề 601: B).

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:
$V=\pi {\int }_1^3(x^2-4x{)}^{2}dx=\pi {\int }_1^3(x^4-8x^3+16x^2)dx=\pi {\left[\frac{x^5}{5}-2x^4+\frac{16x^3}{3}\right]}_1^3=\frac{406}{15}\pi$.