Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\cos x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=\frac{\pi }{6};x=\frac{\pi }{4}$ bằng:

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x+1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-1;x=2$ bằng:

Biết $\int f(x)dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C$ ($C$ là hằng số). Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hai hàm số $f(x),g(x)$ liên tục trên $K$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Biết $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^2+3x^3\right)dx=\frac{m}{n}(m,n\in \mathbb{Z})$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho một vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm có hoành độ $x=-1$ và $x=1$. Một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x(-1\le x\le 1)$ cắt vật thể đó theo một mặt cắt là hình vuông có cạnh bằng $3x$. Thể tích $V$ của vật thể đó bằng:

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên một khoảng $K$, $C$ là hằng số. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu:

Cho $(H_1)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f(x)=x^2$, trục $Ox$ và đường thẳng $x=-1$; $(H_2)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $f(x)=x^2$ và $g(x)=-x$.

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=10$. Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f(x)=x^2$ và $F(0)=-3$. Tính $F(3)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đồ thị trên đoạn $[-2;5]$ gồm một phần của đường parabol $(P)$ và một phần của đường thẳng $(d)$ như hình vẽ sau. Tính tích phân $I=\underset{-2}{\overset{5}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Bác Bình muốn làm một cái cửa bằng inox hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 3 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Biết rằng giá vật liệu và tiền công mỗi mét vuông là 1700000 đồng. Vậy bác Bình phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa đó (đơn vị triệu đồng)? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một thùng chứa rượu bằng gỗ là một hình tròn xoay như hình bên có hai mặt đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy là $6dm$. Đường cong mặt bên trong của thùng là một phần của đường elip có độ dài trục lớn bằng $10dm$, trục bé bằng $8dm$. Hỏi thùng gỗ này đựng được tối đa bao nhiêu lít rượu? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Tính $I=\int \left(\cos x+x-1\right)\mathrm{d}x$.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: $y=x^2-2x-1$ và $y=-x^2+3$.

Một học sinh đang điều khiển xe đạp điện chuyển động thẳng đều với vận tốc $a$ $(m/s)$. Khi phát hiện có chướng ngại vật phía trước học sinh đó thực hiện phanh xe. Sau khi phanh, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=a-2t$ $(m/s)$, trong đó $t$ (tính bằng giây) là thời gian kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tìm giá trị lớn nhất của $a$ để quãng đường xe đạp điện đi được sau khi phanh không vượt quá $9m$.