(1 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ có $AD=2a$ và $AB=BC=a,SA=a,SA\perp (ABCD)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AD$.

a) Chứng minh rằng $BC\perp (SAB)$.

b) Chứng minh rằng $(SAC)\perp (SBI)$.

c) Tính góc tạo bởi mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hình thang vuông tại $A,B$ nên $AD\parallel BC$ và $AB\perp BC$. Mặt khác $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BC$. Vì $BC\perp AB$, $BC\perp SA$ với $AB,SA\subset (SAB)$ cắt nhau tại $A$, nên $BC\perp (SAB)$.

b) $I$ trung điểm $AD$, $AD=2a$ nên $AI=a=BC$, và $AI\parallel BC$ (cùng song song $AD$), do đó $ABCI$ là hình vuông cạnh $a$. Trong hình vuông $ABCI$, hai đường chéo $BI\perp AC$. Lại có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BI$. Vì $BI\perp AC$, $BI\perp SA$ với $AC,SA\subset (SAC)$ cắt nhau tại $A$, nên $BI\perp (SAC)$. Mà $BI\subset (SBI)$, suy ra $(SAC)\perp (SBI)$.

c) Vì $BC\parallel AD$, $BC\subset (SBC)$, $AD\subset (SAD)$ nên giao tuyến $\Delta$ của $(SBC)$ và $(SAD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $BC$. Theo câu a), $BC\perp (SAB)$ nên $\Delta \perp (SAB)$, do đó $\Delta \perp SB$ và $\Delta \perp SA$ với $SB\subset (SBC)$, $SA\subset (SAD)$. Vậy góc giữa $(SBC)$ và $(SAD)$ là $\widehat{BSA}$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với $SA=AB=a$ nên $\widehat{BSA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai mặt phẳng bằng $45^{\circ }$.