(1 điểm) Tìm tất cả các đa thức thỏa $(x-8)P(x+1)=8(x-1)P(x)\forall x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử $P$ khác 0, bậc $n$, hệ số cao nhất $a\ne 0$. Khi đó $(x-8)P(x+1)$ có số hạng cao nhất $a{x}^{n+1}$, còn $8(x-1)P(x)$ có số hạng cao nhất $8a{x}^{n+1}$. Đồng nhất hệ số của $x^{n+1}$: $a=8a\Rightarrow a=0$, mâu thuẫn. Vậy không tồn tại đa thức khác 0. Kiểm tra $P(x)\equiv 0$: hai vế cùng bằng 0 với mọi $x$, thỏa mãn. Cách khác: thay $x=1$ được $P(2)=0$; nếu $P(k)=0$ với $k\ge 2$ thì $(k-8)P(k+1)=0\Rightarrow P(k+1)=0$, suy ra $P$ có vô số nghiệm $2,3,4,\dots$ nên $P\equiv 0$. Kết luận: đa thức duy nhất là $P(x)\equiv 0$.