(2 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap $(AD//BC),AD=2BC$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Lấy $K$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AK=2KB$, $G$ là trung điểm $SD$, $H$ là trọng tâm tam giác $SAD$.

a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(AHK)$ và $(SBD)$.

b. Gọi $L$ là giao điểm của mặt phẳng $(KOH)$ và đường thẳng $SD$. Chứng minh $\frac{DL}{DG}=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần III):
a) Vì $K$ thuộc $AB$ nên đường thẳng $AK$ chính là đường thẳng $AB$, do đó $B$ thuộc $(AHK)$; rõ ràng $B$ thuộc $(SBD)$. Trong tam giác $SAD$, $G$ là trung điểm $SD$ nên $AG$ là trung tuyến; $H$ là trọng tâm nên $H$ thuộc $AG$, tức $G$ thuộc đường thẳng $AH$, suy ra $G$ thuộc $(AHK)$; mà $G$ thuộc $SD$ nên $G$ thuộc $(SBD)$. Vậy giao tuyến của $(AHK)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $BG$.
b) Trong mặt phẳng $(ABD)$: vì $BO/OD=1/2$ (do $AD//BC$, $AD=2BC$ nên $AO/OC=DO/OB=2$) và $BK/KA=1/2$ (do $AK=2KB$), theo định lý Thales ta có $KO//AD$. Suy ra $KO//(SAD)$. Mặt phẳng $(KOH)$ đi qua $KO$ và $H$, nên giao tuyến của $(KOH)$ với $(SAD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $H$ và song song với $AD$ (định lý về giao tuyến: mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng khác thì giao tuyến song song với đường thẳng đó). Gọi $d$ cắt $SD$ tại $L$, khi đó $L$ là giao điểm của $(KOH)$ với $SD$. Trong tam giác $SAD$, đường thẳng qua trọng tâm $H$ song song với cạnh $AD$ cắt cạnh $SD$ tại $L$ thì $SL/SD=2/3$ (vì trọng tâm cách đỉnh $S$ một khoảng bằng $2/3$ độ dài trung tuyến, và đường thẳng song song với đáy tạo tam giác đồng dạng tỉ số $2/3$). Do đó $DL/SD=1/3$. Mặt khác $G$ là trung điểm $SD$ nên $DG/SD=1/2$. Vậy $DL/DG=(1/3)/(1/2)=2/3$. Đpcm.
(Kiểm tra bằng tọa độ: lấy $B(0;0;0)$, $C(1;0;0)$, $A(0;1;0)$, $D(2;1;0)$, $S(0;0;3)$ thì $O(2/3;1/3;0)$, $K(0;1/3;0)$, $H(2/3;2/3;1)$, $G(1;1/2;3/2)$; mặt $(AHK)$: $3x=2z$ chứa $G$; mặt $(KOH)$: $y=1/3+z/3$ cắt $SD$ tại $L(4/3;2/3;1)$ với $DL/DG=2/3$ — khớp kết quả.)