(5.0 điểm)
1. Giải phương trình: $\cos 2x+\left(1+2\cos x\right)\left(\sin x-\cos x\right)=0$.
2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC=a,AB=c,AC=b$ và $a,\sqrt{\frac{2}{3}}b,c$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính số đo các góc $B,C$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 16.**

**1. Giải phương trình** $\cos 2x+(1+2\cos x)(\sin x-\cos x)=0$.

Khai triển:
$$\cos 2x+\sin x-\cos x+2\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x=0.$$
Vì $\cos 2x-2{\cos }^{2}x=(2{\cos }^{2}x-1)-2{\cos }^{2}x=-1$, phương trình trở thành:
$$2\sin x\cos x+\sin x-\cos x-1=0.$$
Đặt $t=\sin x-\cos x$, khi đó $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$ (do $(\sin x-\cos x{)}^2=1-2\sin x\cos x$). Phương trình thành:
$$(1-t^2)+t-1=0\iff t(1-t)=0\iff t=0\text{ hoặc }t=1.$$

- Với $t=0$: $\sin x=\cos x\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- Với $t=1$: $\sin x-\cos x=1\iff \sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ hoặc $x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ hoặc $x=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra: $x=\frac{\pi }{2}$: $2\cdot 1\cdot 0+1-0-1=0$ ✓; $x=\pi$: $0+0+1-1=0$ ✓.

Tập nghiệm: $S=\left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\pi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

**2. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$**, $BC=a$ (cạnh huyền), $AB=c$, $AC=b$, và $a,\sqrt{\frac{2}{3}}b,c$ lập thành cấp số nhân nên:
$${\left(\sqrt{\frac{2}{3}}b\right)}^2=ac\iff \frac{2}{3}{b}^2=ac.(\ast )$$
Kết hợp $a^2=b^2+c^2$, từ $(\ast )$ có $b^2=\frac{3}{2}ac$, thay vào:
$$a^2=\frac{3}{2}ac+c^2\iff 2a^2-3ac-2c^2=0.$$
Chia hai vế cho $c^2$, đặt $r=\frac{a}{c}>0$: $2r^2-3r-2=0\iff r=2$ (nhận) hoặc $r=-\frac{1}{2}$ (loại).

Vậy $a=2c$, suy ra $b^2=\frac{3}{2}\cdot 2c\cdot c=3c^2\Rightarrow b=c\sqrt{3}$.

Do đó:
$$\sin B=\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow B=60^{\circ },C=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$

Kiểm tra cấp số nhân: $a=2c,\sqrt{\frac{2}{3}}b=\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot \sqrt{3}c=\sqrt{2}c,c$ — công bội $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ✓.

Kết luận: $\hat{B}=60^{\circ },\hat{C}=30^{\circ }$.