Cho phương trình $20\sin 3x=m$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có đúng 151 nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\frac{201\pi }{4}\right]$?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=3x$, với $x\in \left(0;\frac{201\pi }{4}\right]$ thì $t\in \left(0;\frac{603\pi }{4}\right]$. Đặt $a=\frac{m}{20}$, phương trình trở thành $\sin t=a$ với $t\in \left(0;\frac{603\pi }{4}\right]$. Chú ý $\frac{603\pi }{4}=150,75\pi =75\cdot 2\pi +\frac{3\pi }{4}$.

Xét các trường hợp với $|a|<1$, $\alpha =\arcsin a$:

• Với $0<a<1$: họ nghiệm $t=\alpha +2k\pi$: điều kiện $2k\le 75,375-\frac{\alpha }{2\pi }$ với $\frac{\alpha }{2\pi }\in \left(0;\frac{1}{4}\right)$ nên $k\le 75$, cho $76$ nghiệm. Họ $t=\pi -\alpha +2k\pi$: $k\le 74,875+\frac{\alpha }{2\pi }$, nên nếu $a<\frac{\sqrt{2}}{2}$ (tức $\alpha <\frac{\pi }{4}$) thì $k\le 74$, cho $75$ nghiệm; nếu $a\ge \frac{\sqrt{2}}{2}$ thì $k\le 75$, cho $76$ nghiệm.
Vậy tổng số nghiệm: $151$ khi $0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}$; $152$ khi $\frac{\sqrt{2}}{2}\le a<1$.

• Với $-1<a<0$: họ $t=-\beta +2k\pi$ ($\beta =\arcsin |a|\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$) cho $75$ nghiệm ($k=\mathrm{1..75}$), họ $t=\pi +\beta +2k\pi$ cho $75$ nghiệm ($k\le 74$), tổng $150$ nghiệm.

• $a=0$: $t=k\pi$, $k=\mathrm{1..150}$ → $150$ nghiệm. $a=\pm 1$: $76$ nghiệm.

Vậy phương trình có đúng $151$ nghiệm khi và chỉ khi $0<\frac{m}{20}<\frac{\sqrt{2}}{2}$, tức $0<m<10\sqrt{2}\approx 14,142$. Các giá trị nguyên $m$: $1,2,\dots ,14$, tất cả $14$ giá trị.