Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SBD$. Mặt phẳng $(MNG)$ cắt $SC$ tại điểm $H$. Tỉ số $\frac{SH}{SC}$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A=(0;0;0)$, $B=(1;0;0)$, $D=(0;1;0)$, $C=(1;1;0)$ (hình bình hành), $S=(0;0;1)$. Khi đó $M=\left(\frac{1}{2};0;0\right)$, $N=\left(0;\frac{1}{2};0\right)$, trọng tâm tam giác $SBD$ là $G=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$. Ta có $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)$, $\overrightarrow{MG}=\left(-\frac{1}{6};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$. Vectơ pháp tuyến của $(MNG)$: $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MG}=\left(\frac{1}{6};\frac{1}{6};-\frac{1}{12}\right)\propto (2;2;-1)$. Mặt phẳng $(MNG)$: $2x+2y-z=1$ (kiểm tra: qua $M$: $2\cdot \frac{1}{2}=1$; qua $N$: $2\cdot \frac{1}{2}=1$; qua $G$: $\frac{2}{3}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=1$). Điểm $H\in SC$ có dạng $H=(t;t;1-t)$ với $\frac{SH}{SC}=t$. Thay vào phương trình mặt phẳng: $2t+2t-(1-t)=1\Rightarrow 5t=2\Rightarrow t=\frac{2}{5}$. Vậy $\frac{SH}{SC}=\frac{2}{5}$, khớp với đáp án điền sẵn.