Bài 3. Một doanh nghiệp sản xuất và bán một loại sản phẩm với giá 78 nghìn đồng mỗi sản phẩm. Tại mức giá này, doanh nghiệp bán được 160 sản phẩm mỗi tháng. Doanh nghiệp dự định tăng giá bán và ước tính rằng nếu tăng 10 nghìn đồng trong giá bán thì số lượng sản phẩm bán được sẽ giảm đi 20 sản phẩm mỗi tháng. Biết rằng chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 38 nghìn đồng. Doanh nghiệp nên bán sản phẩm với giá bao nhiêu để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số lần tăng giá 10 nghìn đồng ($x\ge 0$). Khi đó giá bán là $p=78+10x$ (nghìn đồng) và số sản phẩm bán được mỗi tháng là $q=160-20x$ (sản phẩm), với điều kiện $0\le x\le 8$ để $q\ge 0$.

Lợi nhuận trên mỗi sản phẩm: $(78+10x)-38=40+10x$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận mỗi tháng:
$$P(x)=(40+10x)(160-20x)=6400+800x-200x^2\text{ (nghıˋn đoˆˋng)}.$$

Xét hàm số $P(x)=-200x^2+800x+6400$ trên $[0;8]$:
$$P^{\prime }(x)=-400x+800=0\iff x=2.$$

Vì $P^{\prime }(x)>0$ khi $x<2$ và $P^{\prime }(x)<0$ khi $x>2$, hàm số đạt cực đại (và là giá trị lớn nhất) tại $x=2$.

$P(2)=(40+20)(160-40)=60\cdot 120=7200$ (nghìn đồng).

Vậy doanh nghiệp nên bán với giá $78+10\cdot 2=98$ nghìn đồng mỗi sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất (lợi nhuận tối đa 7 200 nghìn đồng = 7,2 triệu đồng mỗi tháng).