Bạn An làm đèn lồng bằng cách dùng một sợi dây dài 28 dm cắt thành ba đoạn để uốn làm khung đèn. Đoạn thứ nhất uốn thành hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $x$ (dm) để làm đáy, hai đoạn còn lại có độ dài bằng nhau uốn thành các đường gấp khúc $ASC$ và $BSD$. Khung đèn sau khi hoàn thiện có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ và bề mặt ngoài của đèn được dán giấy màu để trang trí, không dán mặt đáy (xem các mối nối, dán là không đáng kể).

Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

[Hình cần kiểm tra lại: p13_f1] →

a) Độ dài cạnh bên của khung đèn bằng $(7-x)$ dm với $0<x<7$.
b) Khi $x=4$ thì độ dài đường cao của khung đèn là 1 dm.
c) Khi các cạnh bằng nhau thì diện tích giấy màu cần dúng là $15\sqrt{3}$ dm${}^2$.
d) Thể tích phần không gian của đèn lồng lớn nhất khi $x\approx 1,89$ dm.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng dây 28 dm: đáy vuông dùng 4x, hai đoạn còn lại mỗi đoạn dài (28-4x)/2 = 14-2x, uốn thành đường gấp khúc ASC = SA + SC nên cạnh bên SA = (14-2x)/2 = 7-x, với 0<x<7. a) Đúng.

b) Với x=4: cạnh bên = 3, nửa đường chéo đáy = 4√2/2 = 2√2, h² = 9 - 8 = 1 ⇒ h = 1 dm. Đúng.

c) Các cạnh bằng nhau: x = 7-x ⇒ x = 3,5. Mặt bên là tam giác đều cạnh 3,5, diện tích 4 mặt = 4·(√3/4)·3,5² = 49√3/4 ≈ 21,22 dm² ≠ 15√3. Sai.

d) Thể tích V = (1/3)x²√((7-x)² - x²/2). Khảo sát f(x) = x⁴(49 - 14x + x²/2), f'(x) = x³(3x² - 70x + 196) = 0 ⇒ x = (70 - √2548)/6 ≈ 3,25 dm (không phải 1,89). Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cạnh bên = (14-2x)/2 = 7-x dm, điều kiện 0<x<7.
b) (AI giải đề cho tôi)
x=4: cạnh bên 3, h=√(9-8)=1 dm.
c) (AI giải đề cho tôi)
x=3,5, diện tích 4 mặt bên = 49√3/4 ≈ 21,22 dm² ≠ 15√3 dm².
d) (AI giải đề cho tôi)
V max khi 3x²-70x+196=0 ⇒ x ≈ 3,25 dm, không phải 1,89 dm.