Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có bảng biến thiên như hình vẽ.Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

$x$	$-\infty$		0		3		$+\infty$
$y^{\prime }$		+	0	−	0	+
$y$			5				$+\infty$
	$-\infty$				$-\frac{17}{2}$

a) Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=3$ và đạt cực tiểu tại điểm $x=0$.
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0)$.
c) $a+b+c+d=\frac{1}{2}$.
d) Đồ thị hàm số $y=\frac{2048}{f(x)-1}$ có 4 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có nghiệm $x=0,x=3$ nên $c=0$, $2b=-9a\Rightarrow b=-\frac{9a}{2}$. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=d=5$, đạt cực tiểu tại $x=3$ với $f(3)=-\frac{17}{2}$.

Ta có $f(3)=27a-\frac{81a}{2}+5=-\frac{27a}{2}+5=-\frac{17}{2}\Rightarrow a=1$, $b=-\frac{9}{2}$.
Vậy $f(x)=x^3-\frac{9}{2}{x}^2+5$.

a) Sai: cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=3$ (khẳng định đảo ngược).

b) Sai: trên $(-\infty ;0)$ có $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến.

c) $a+b+c+d=f(1)=1-\frac{9}{2}+5=\frac{3}{2}\ne \frac{1}{2}$ → Sai.

d) Xét $y=\frac{2048}{f(x)-1}$: có tiệm cận ngang $y=0$. Phương trình $f(x)=1$ tức $x^3-\frac{9}{2}{x}^2+4=0$ có 3 nghiệm phân biệt (vì $1$ nằm giữa giá trị cực tiểu $-\frac{17}{2}$ và cực đại $5$, kiểm tra: $f(0)=5>1$, $f(3)=-8.5<1$, $f(x)\to \pm \infty$ khi $x\to \pm \infty$) → 3 tiệm cận đứng. Tổng cộng 4 đường tiệm cận → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho y' đổi dấu từ + sang − tại x=0 (cực đại, f(0)=5) và từ − sang + tại x=3 (cực tiểu, f(3)=-17/2). Khẳng định đảo ngược nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;0) bảng cho y'=+ nên hàm số đồng biến, không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ y'=3ax²+2bx+c có nghiệm 0 và 3: c=0, b=-9a/2. f(0)=d=5; f(3)=-27a/2+5=-17/2 ⇒ a=1, b=-9/2. Vậy a+b+c+d=f(1)=1-9/2+5=3/2≠1/2, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
y=2048/(f(x)-1) có tiệm cận ngang y=0 và tiệm cận đứng tại nghiệm của f(x)=1. Vì min f=-17/2 < 1 < 5 = max f nên f(x)=1 có 3 nghiệm phân biệt ⇒ 3 tiệm cận đứng. Tổng 4 đường tiệm cận, đúng.