Biết $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{2x{\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)-{\sin }^{3}x}{1+\cos x}\mathrm{d}x=\frac{{\pi }^2}{a}-\frac{b}{c}$. Trong đó $a$, $b$, $c$ là các số nguyên dương, phân số $\frac{b}{c}$ tối giản. Tính $T=a^2+b^2+c^2$.