Câu IV (5,5 điểm).
1. Cho hình lăng trụ , có , , . Cho biết tứ giác là hình thoi có và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Tính thể tích của khối lăng trụ .
2. Trong không gian , xét điểm , , , sao cho và . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên các trục , .
a) Tìm tọa độ của điểm .
b) Tìm tọa độ của điểm sao cho tứ giác là hình thang có đáy là và diện tích hình thang gấp ba lần diện tích tam giác .
3. Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm , , trên đèn tròn sao cho tam giác đều (Hình vẽ bên dưới). Độ dài của ba đoạn dây đều bằng (dm). Trọng lượng của chiếc đèn là 27 N và bán kính của chiếc đèn là 5 dm. Gọi là độ lớn của các lực căng , , trên mỗi sợi dây. Khi đó là một hàm số với biến số . Xác định hàm số và tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 9,75 N.
Câu IV (5,5 điểm).
1. Cho hình lăng trụ , có , , . Cho biết tứ giác là hình thoi có và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Tính thể tích của khối lăng trụ .
2. Trong không gian , xét điểm , , , sao cho và . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên các trục , .
a) Tìm tọa độ của điểm .
b) Tìm tọa độ của điểm sao cho tứ giác là hình thang có đáy là và diện tích hình thang gấp ba lần diện tích tam giác .
3. Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm , , trên đèn tròn sao cho tam giác đều (Hình vẽ bên dưới). Độ dài của ba đoạn dây đều bằng (dm). Trọng lượng của chiếc đèn là 27 N và bán kính của chiếc đèn là 5 dm. Gọi là độ lớn của các lực căng , , trên mỗi sợi dây. Khi đó là một hàm số với biến số . Xác định hàm số và tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 9,75 N.
1. Cho hình lăng trụ , có , , . Cho biết tứ giác là hình thoi có và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng . Tính thể tích của khối lăng trụ .
2. Trong không gian , xét điểm , , , sao cho và . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên các trục , .
a) Tìm tọa độ của điểm .
b) Tìm tọa độ của điểm sao cho tứ giác là hình thang có đáy là và diện tích hình thang gấp ba lần diện tích tam giác .
3. Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm , , trên đèn tròn sao cho tam giác đều (Hình vẽ bên dưới). Độ dài của ba đoạn dây đều bằng (dm). Trọng lượng của chiếc đèn là 27 N và bán kính của chiếc đèn là 5 dm. Gọi là độ lớn của các lực căng , , trên mỗi sợi dây. Khi đó là một hàm số với biến số . Xác định hàm số và tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 9,75 N.
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
1) (1,5 điểm) 
Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . Theo định lý sin trong tam giác ta có: .
Vì là hình thoi và nên tam giác là tam giác đều.
Hai mặt phẳng và vuông góc và có giao tuyến nên nếu gọi là đường cao của tam giác thì , .
Tam giác vuông có . Tam giác vuông có .
Ta có .
Thể tích khối lăng trụ là: .
2) (2,0 điểm)
a) Gọi là hình chiếu vuông góc của lên trục .
Ta có ; .
Mặt khác .
Vậy .
b) Ta có: , . Hơn nữa:
Mà là hình thang có đáy nên (1).
Ta có: ; .
Từ (1), suy ra .
3) (2,0 điểm)
Gọi lần lượt là các điểm sao cho , , . Khi đó hai vecto cùng hướng, do đó tồn tại số sao cho , tương tự .
Suy ra . (1)
Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên . Gọi là tâm chiếc đèn hình tròn. Vì tam giác đều nên cũng là trọng tâm của tam giác . Khi đó
suy ra .
Theo giả thiết trọng lượng của chiếc đèn là 27 N, do đó .
Ta có (điều kiện: ).
Suy ra .
Thay vào (1) ta có (N).
Phần kết luận về chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây (từ điều kiện N) nằm ở trang hướng dẫn chấm tiếp theo không được cung cấp trong dữ liệu trang này.
Tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . Theo định lý sin trong tam giác ta có: .
Vì là hình thoi và nên tam giác là tam giác đều.
Hai mặt phẳng và vuông góc và có giao tuyến nên nếu gọi là đường cao của tam giác thì , .
Tam giác vuông có . Tam giác vuông có .
Ta có .
Thể tích khối lăng trụ là: .
2) (2,0 điểm)
a) Gọi là hình chiếu vuông góc của lên trục .
Ta có ; .
Mặt khác .
Vậy .
b) Ta có: , . Hơn nữa:
Mà là hình thang có đáy nên (1).
Ta có: ; .
Từ (1), suy ra .
3) (2,0 điểm)
Gọi lần lượt là các điểm sao cho , , . Khi đó hai vecto cùng hướng, do đó tồn tại số sao cho , tương tự .
Suy ra . (1)
Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên . Gọi là tâm chiếc đèn hình tròn. Vì tam giác đều nên cũng là trọng tâm của tam giác . Khi đó
suy ra .
Theo giả thiết trọng lượng của chiếc đèn là 27 N, do đó .
Ta có (điều kiện: ).
Suy ra .
Thay vào (1) ta có (N).
Phần kết luận về chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây (từ điều kiện N) nằm ở trang hướng dẫn chấm tiếp theo không được cung cấp trong dữ liệu trang này.