Giải phương trình sau trên tập số thực: $e^{3x}+e^x=2\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)\left(1+x\sqrt{1-x^2}\right)$.

Điều kiện: $x\in [-1;1]$. Đặt $x+\sqrt{1-x^2}=t$. Vì $x\in [-1;1]\Rightarrow t\in \left[-1;\sqrt{2}\right]$.
Ta có: $t^2={\left(x+\sqrt{1-x^2}\right)}^2=1+2x\sqrt{1-x^2}\Rightarrow x\sqrt{1-x^2}=\frac{t^2-1}{2}$.
Phương trình đã cho trở thành: $e^{3x}+e^x=t^3+t$. (*)
Xét hàm số $h(u)=u^3+u$, $h^{\prime }(u)=3u^2+1>0\forall u$ do đó hàm số $h(u)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra $e^x=t\Rightarrow e^x=x+\sqrt{1-x^2}$ (*)
$\iff e^x-x=\sqrt{1-x^2}$. Xét hàm số $f(x)=e^x-x$, $x\in \mathbb{R}$. Ta có $f^{\prime }(x)=e^x-1$ và $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=0$.
BBT: hàm số giảm đến giá trị $1$ (tại $x=0$) rồi tăng. Suy ra $e^x-x\ge 1\forall x\in \mathbb{R}$.
Mặt khác $1\ge \sqrt{1-x^2}\forall x\in [-1;1]$. Suy ra $e^x-x\ge \sqrt{1-x^2}\forall x\in [-1;1]$.
Vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất là $x=0$.