Cho hàm số $f(x)\ne 0,\forall x\in [0;+\infty )$ có đạo hàm liên tục trên $(0;+\infty )$ thỏa mãn $f(1)=-\frac{1}{12}$ và $f^{\prime }(x)=(2x+5)\cdot {\left(f(x)\right)}^2\forall x\in (0;+\infty )$. Tính tổng $S=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2025)$.

Một chất điểm $A$ chuyển động trên trục $Ox$, với vận tốc $v(t)=-2t+3$ (m/s), trong đó thời điểm $t=0$ (giây) tính từ lúc chất điểm bắt đầu chuyển động và khi đó chất điểm ở tại gốc tọa độ. Tại thời điểm $t=0$, tại gốc tọa độ một chất điểm $B$ khác $A$ chuyển động trên trục $Ox$ với vận tốc $v_1(t)=3^t\ln 3$ (m/s). Sau khoảng thời gian bao lâu thì hai chất điểm gặp nhau lần thứ hai (thời điểm $t=0$ được xem là thời điểm hai chất điểm gặp nhau lần thứ nhất)?

Câu IV (5,5 điểm).
1. Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, có $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}=90^0$, $BD=1$, $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}=30^0$. Cho biết tứ giác $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ là hình thoi có $\widehat{A^{\prime }AC}=60^0$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.
2. Trong không gian $Oxyz$, xét điểm $M(a;b;c)$, $a>0$, $b>0$, $c>0$ sao cho $\widehat{MOy}=\widehat{MOz}=60^0$ và $OM=12$. Gọi $A,B$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên các trục $Ox$, $Oy$.
a) Tìm tọa độ của điểm $M$.
b) Tìm tọa độ của điểm $C$ sao cho tứ giác $ABMC$ là hình thang có đáy là $AB$ và diện tích hình thang $ABMC$ gấp ba lần diện tích tam giác $MAB$.
3. Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A$, $B$, $C$ trên đèn tròn sao cho tam giác $ABC$ đều (Hình vẽ bên dưới). Độ dài của ba đoạn dây $OA,OB,OC$ đều bằng $L$ (dm). Trọng lượng của chiếc đèn là 27 N và bán kính của chiếc đèn là 5 dm. Gọi $F$ là độ lớn của các lực căng $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó $F=F(L)$ là một hàm số với biến số $L$. Xác định hàm số $F=F(L)$ và tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 9,75 N.

Câu V (2,0 điểm). Gọi $(H)$ là miền giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{\ln (x+1)-x+2x^2}{x^2}$, trục hoành và các đường thẳng $x=1$, $x=2025$. Chọn ngẫu nhiên một điểm $M(x_0;y_0)$, $x_0\in \mathbb{N}$, $y_0\in \mathbb{N}$ thuộc miền $(H)$. Tính xác suất để điểm $M(x_0;y_0)$ được chọn thỏa mãn $x_0>2025y_0$.

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A,B,C$ trên đèn tròn sao cho tam giác $ABC$ đều (Hình vẽ bên dưới). Độ dài của ba đoạn dây $OA,OB,OC$ đều bằng $L$ (dm). Trọng lượng của chiếc đèn là 27 N và bán kính của chiếc đèn là 5 dm. Gọi $F$ là độ lớn của các lực căng ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3$ trên mỗi sợi dây. Khi đó $F=F(L)$ là một hàm số với biến số $L$. Xác định hàm số $F=F(L)$ và tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 9,75 N.

Gọi $(H)$ là miền giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{\ln (x+1)-x+2x^2}{x^2}$, trục hoành và các đường thẳng $x=1$, $x=2025$. Chọn ngẫu nhiên một điểm $M(x_0;y_0),x_0\in \mathbb{N},y_0\in \mathbb{N}$ thuộc miền $(H)$. Tính xác suất để điểm $M(x_0;y_0)$ được chọn thỏa mãn $x_0>2025y_0$.