Gọi $(H)$ là miền giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{\ln (x+1)-x+2x^2}{x^2}$, trục hoành và các đường thẳng $x=1$, $x=2025$. Chọn ngẫu nhiên một điểm $M(x_0;y_0),x_0\in \mathbb{N},y_0\in \mathbb{N}$ thuộc miền $(H)$. Tính xác suất để điểm $M(x_0;y_0)$ được chọn thỏa mãn $x_0>2025y_0$.

Với $x>0$, ta có $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{x}{x+1}+x-2\ln (x+1)}{x^3}$.

Xét $g(x)=\frac{x}{x+1}+x-2\ln (x+1)$; $g^{\prime }(x)=\frac{1}{(x+1{)}^2}+1-\frac{2}{x+1}=\frac{x^2}{(x+1{)}^2}$.

Ta có $g^{\prime }(x)\ge 0,\forall x>0$ nên hàm số g(x) đồng biến trên $(0;+\infty )$; $g(0)=0$. Với mọi $x>0$ thì $g(x)>g(0)$ hay $g(x)>0$. Do đó $f^{\prime }(x)>0,\forall x>0$. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên $(0;+\infty )$.

Ta chứng minh: $\frac{\ln (x+1)-x+2x^2}{x^2}<2\forall x>0\iff \ln (x+1)-x<0\forall x>0$. Lập BBT của hàm số $\ln (x+1)-x$ ta chứng minh được $\ln (x+1)-x<0\forall x>0$.

Từ các điều trên ta có được miền (H) như hình sau:



Suy ra trong miền (H) có $2025\cdot 2=4050$ điểm nguyên.

Trong đó có đúng 2025 điểm $M(x_0;y_0)$ thỏa mãn $x_0>2025y_0$.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{2025}{4050}=\frac{1}{2}$.