Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên

Question

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A, B, C$ trên đèn tròn sao cho tam giác $A B C$ đều (Hình vẽ bên dưới). Độ dài của ba đoạn dây $O A, O B, O C$ đều bằng $L$ (dm). Trọng lượng của chiếc đèn là 27 N và bán kính của chiếc đèn là 5 dm. Gọi $F$ là độ lớn của các lực căng $F_{1}, F_{2}, F_{3}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó $F = F (L)$ là một hàm số với biến số $L$ . Xác định hàm số $F = F (L)$ và tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 9,75 N.

Đề Thi Chuẩn · Accepted Answer

Đáp án đúng: Tự luận. Lời giải chi tiết: Gọi A 1, B 1, C 1 lần lượt là các điểm sao cho OA 1 = F 1, OB 1 = F 2, OC 1 = F 3. Khi đó hai vecto OA 1 , OA cùng hướng, do đó tồn tại số k > 0 sao cho OA 1 = k OA , tương tự OB 1 = k OB , OC 1 = k OC . Suy ra F = | F 1 | = k | OA | = k L. (1) Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên F 1 + F 2 + F 3 = P . Gọi I là tâm chiếc đèn hình tròn. Vì tam giác ABC đều nên I cũng là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó OA + OB + OC = 3 OI 1 k ( OA 1 + OB 1 + OC 1 ) = 3 OI suy ra P = 3k OI . Theo giả thiết trọng lượng của chiếc đèn là 27N, do đó IO = 9 k . Ta có OI = OA 2 - AI 2 = L 2 - 25 (điều kiện: L > 5). Suy ra 9 k = L 2 - 25 k = 9 L 2 - 25 . Thay k = 9 L 2 - 25 vào (1) ta có F = 9L L 2 - 25 (N). Ta có F' = -9 25 (L 2-25 ) 3 5. BBT: L 5 + F' - F + 9 Khi lực căng của mỗi sợi dây bằng 9,75 N, ta có: 9L L 2-25 = 9 , 75 36L = 39 L 2-25 L = 13 (thỏa mãn điều kiện L>5). Dựa vào BBT ở trên ta thấy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây để lực căng tối đa là 9,75 N là 13 dm.

$L$	5	$+ \infty$
$F^{'}$	$-$
$F$	$+ \infty ↘ 9$

Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Lớp 12 Cấp Tỉnh Hà Nam Môn Toán 2024-2025

Các câu hỏi khác trong đề (11 câu)