Câu V (2,0 điểm). Gọi $(H)$ là miền giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{\ln (x+1)-x+2x^2}{x^2}$, trục hoành và các đường thẳng $x=1$, $x=2025$. Chọn ngẫu nhiên một điểm $M(x_0;y_0)$, $x_0\in \mathbb{N}$, $y_0\in \mathbb{N}$ thuộc miền $(H)$. Tính xác suất để điểm $M(x_0;y_0)$ được chọn thỏa mãn $x_0>2025y_0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{\ln (x+1)-x+2x^2}{x^2}=2+\frac{\ln (x+1)-x}{x^2}$ với $x\in [1;2025]$.

Vì $\ln (x+1)<x$ với mọi $x>0$ nên $0<f(x)<2$. Do đó với điểm lattice $M(x_0;y_0)\in (H)$ với $x_0,y_0\in \mathbb{N}$ (miền $(H)$ là miền đóng, gồm cả biên là trục hoành), $y_0$ chỉ có thể nhận giá trị $0$ hoặc $1$.

• Với $y_0=0$: điểm nằm trên trục hoành, $x_0\in \{1,2,\dots ,2025\}$: có $2025$ điểm.

• Với $y_0=1$: cần $f(x)\ge 1⟺\ln (x+1)+x^2-x\ge 0$. Đặt $g(x)=x^2-x+\ln (x+1)$, $g(1)=\ln 2>0$ và $g^{\prime }(x)=2x-1+\frac{1}{x+1}=\frac{2x^2+x}{x+1}>0$ với $x\ge 1$. Vậy $g(x)>0$ trên $[1;2025]$, tức mọi $x_0\in \{1,\dots ,2025\}$ đều cho $f(x)>1$: có $2025$ điểm.

Tổng số điểm: $2025+2025=4050$.

Đếm điểm thỏa $x_0>2025y_0$:
• Với $y_0=0$: điều kiện $x_0>0$ luôn đúng → $2025$ điểm thuận lợi.
• Với $y_0=1$: điều kiện $x_0>2025$ vô nghiệm vì $x_0\le 2025$ → $0$ điểm.

Xác suất $P=\frac{2025}{4050}=\frac{1}{2}$.