Cho $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$. Ta có

(AI giải đề cho tôi)
Với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ thì $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha >0$, $\tan \alpha >0$, $\cot \alpha >0$.
a) $\sin \alpha \cdot \cos \alpha >0$, nên mệnh đề $\sin \alpha \cdot \cos \alpha <0$ sai.
b) $\tan \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha >0$ và $\sin \alpha >0$ nên tích $>0$, mệnh đề sai.
c) $\tan (\alpha -3\pi )=\tan \alpha$ và $\cot (\alpha +3\pi )=\cot \alpha$ (chu kỳ $\pi$), nên $\tan (\alpha -3\pi )\cdot \cot (\alpha +3\pi )=\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$, mệnh đề đúng.
d) $3\alpha \in (0;\frac{3\pi }{2})$, ví dụ $\alpha =\frac{\pi }{6}$ thì $\cos 3\alpha =\cos \frac{\pi }{2}=0$, còn $\alpha =\frac{\pi }{12}$ thì $\cos \frac{\pi }{4}>0$; do đó không thể khẳng định $\cos 3\alpha <0$, mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\sin \alpha >0$ và $\cos \alpha >0$, do đó $\sin \alpha \cdot \cos \alpha >0$, không phải $<0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)=\cot \alpha >0$ và $\sin \alpha >0$ nên $\tan \left(\frac{3\pi }{2}-\alpha \right)\cdot \sin \alpha >0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan (\alpha -3\pi )=\tan \alpha$, $\cot (\alpha +3\pi )=\cot \alpha$, nên tích bằng $\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3\alpha \in \left(0;\frac{3\pi }{2}\right)$ nên $\cos 3\alpha$ có thể dương, bằng 0 hoặc âm (ví dụ $\alpha =\frac{\pi }{12}$ cho $\cos \frac{\pi }{4}>0$), không luôn $<0$.